Es sei {v1, . . . , vn} eine Orthonormalbasis des n-dimensionalen euklidischen Vektorraumes V.

Question

Aufgabe:

Es sei {v₁, . . . , v_n} eine Orthonormalbasis des n-dimensionalen euklidischen Vektorraumes V. Fur zwei lineare Abbildungen: φ und ψ von V nach R setzen wir:

<φ,ψ>:=\( \sum\limits_{i=1}^{n}{φ(vi)ψ(vi)} \) .

Beweisen Sie:

a) Die Zahl <φ,ψ> hängt nicht von der Wahl der Orthonormalbasis ab.

b) (V´, <°,°>) ist ein euklidischer Vektorraum, wobei  V´ := {φ : V´ →ℝ | φ linear} .

c) Es gilt: <φ_v,φ_w> = <v,w> für alle v, w ∈ V (wobei φ_u ∈ V, das lineare Funktional auf V bezeichnet
mit φ_u(v)= <u,v> ).

meine Mathegruppe und ich beißen uns an dieser Aufgabe komplett die Zähne aus. Da wir  alle keine Idee haben wie man da ran gehen soll. Und damit meine ich wirklich gar keine Ansatzidee. Kann man uns die Aufgabe eventuell mal erklären und einen Teil zu mindestens lösen?

Liebe Grüße

Answer 1

zumindest a) lässt sich zunächst unter folgender Prämisse zeigen:

Ist \( v = (v_1, \dots, v_n) \) die Darstellung der orthonormalen Basis als Matrix, dann liefert auch die transponierte Matrix \( v^T \) eine orthonormale Basis, denn

\( v v^T = 1 = (vv^T)^T = v^T v \).

Damit berechnen wir unter Nutzung der \( \varphi \) und \( \psi \) darstellenden Vektoren \( a \) und \( b \) das Skalarprodukt

\( \langle \varphi, \psi \rangle = \sum_{i=1}^n \langle a, v_i \rangle \langle b, v_i \rangle \)

\( = \sum_{i, j, k = 1}^n a_j b_k v_{i, j}v_{i, k} \)

\( = \sum_{j, k = 1}^n a_j b_k \delta_{j, k} \)

\( = \sum_{j=1}^n a_j b_j = \langle a, b \rangle \).

Somit hängt \( \langle \varphi, \psi \rangle \) nicht von der gewählten Orthonormal-Basis (sondern nur von den darstellenden Vektoren \( a \) und \( b \)) ab. \( \langle \varphi, \psi \rangle \) hat also für alle Orthonormal-Basen den gleichen Wert.

Damit lässt sich relativ natürlich die Lösung für c) gewinnen.

Für b) setzt man \( (\varphi + \psi) w = \langle a + b, w \rangle \) an, um die Linearität zu zeigen.

Mister