Integrale bestimmen mit Hilfe von Partialbruchzerlegung

Question

Ich habe zum ersten Mal ein Integral mit Hilfe der Partialbruchzerlegung berechnet und würde mich sehr freuen, wenn jemand drüber schauen könnte, ob ich alles richtig gemacht habe, da ich leider keine Lösungen zu der Aufgabe habe.

Aufgabe:

\( \int\limits_{}^{} \) \( \frac{3x^2-17x+6}{(x-3) (x+3) (x-4)} \)

Ich habe zuerst die Partialbruchzerlegung angewandt:

3x^2 - 17x +6 = A(x+3)(x-4) + B(x-3)(x-4) + C(x-3)(x+3)

=> A = 3; B = 6; C = -2

=> \( \frac{3}{(x-3)} \) + \( \frac{6}{(x+3)} \) + \( \frac{-2}{(x-4)} \)

=> 3\( \int\limits_{}^{} \) \( \frac{1}{(x-3)} \) + 6\( \int\limits_{}^{} \) \( \frac{1}{(x+3)} \) - 2\( \int\limits_{}^{} \) \( \frac{1}{(x-4)} \)

= 3 ln Ix-3I + 6 ln Ix+3I -2 ln Ix-4I

Answer 1

Du kannst doch jederzeit zur Probe die drei Brüche wieder erweitern und auf den Hauptnenner (x-3)(x+3)(x-4) bringen und sie dann addieren. Wenn sich im Zähler 3x²-17x+6 ergibt, hast du richtig zerlegt.

PS: A(x+3)(x-4) + B(x-3)(x-4) + C(x-3)(x+3) ergibt ausmultipliziert und nach Potenzen geordnet

(A+B+C)x² +(-A-7B)x +(-12A+12B-9C). Dabei soll 3x²-17x+6 rauskommen, also müssten nach Koeffizientenvergleich deine Werte A, B und C die folgenden Forderungen erfüllen:

A+B+C=3  (schon das gilt bei dir nicht)

-A-7B=-17 (gilt bei dir auch nicht)

-12A+12B-9C=6 (gilt auch nicht).

Answer 2

Hallo,

hier hast Du eine gute Möglichkeit der Kontrolle: (mit Rechenweg)

https://www.integralrechner.de/

Lösung mittes Einsetzmethode:

A= 3

B=2

C= -2

Lösung:

\( =2 \ln (|x+3|)+3 \ln (|x-3|)-2 \ln (|x-4|)+C \)

Comments

Super, vielen Dank! Hab meinen Fehler sofort gefunden und korrigiert. Ansonsten stimmt alles. Das ist schon mal ein guter Ansatz für die Klausur:)

---

gern doch :)