Stetigkeit Verknüpfung Limes

Question

Aufgabe:

Beweisen oder Widerlegen sie:

(i)Sind f :X→Y und g:Y→ℝ Funktionen,wobei f nicht stetig in x₀ ∈  X ist und g stetig in f(x₀) ist, so ist g ◦ f nicht stetig in x₀

(ii) Sind (a_n), (b_n) positive Folgen mit \( \lim\limits_{n\to\infty} \) a_n b_n = 0, so ist entweder eine der beiden Folgen eine Nullfolge oder aber es ist lim inf a_n = lim inf b_n= 0.

Answer 1

i) ist falsch. Gegenbeispiel:

f:ℝ→ℝ mit f(x) = 1 für x≥0 und   f(x) = -1 für x<0 .

Ist nicht stetig bei x=0.

g:ℝ→ℝ mit g(x) = x^2 ist überall stetig, also auch bei f(0)=1.

Aber  g ◦ f ist stetig in x=0  ; denn es gilt für alle x∈ℝ   (g ◦ f)(x)=1

und eine konstante Funktion ist überall stetig.

Comments

Aber warum gilt für alle x∈ℝ  (g ◦ f)(x)=1?

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 (g ◦ f)(x) = g ( f ( x) )

für x≥0 gilt : g ( f ( x) ) = g(1) = 1^2 = 1

und für x<0 :  g ( f ( x) ) = g(-1) = (-1)^2 = 1 .