Vollständige Induktion mit kleinergleich

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ ℕ gilt \( \sum\limits_{k=0}^{n-1}{k^5≤n^6/6} \)

Problem/Ansatz:

Wie genau soll man den Induktionsanfang wählen und den Induktionsschritt.

Wenn ich 0 als Anfang wähle hab ich dann 0^5≤(-1^6/6) = 0≤1/6?

Oder wäre dann n^6 nicht 0 und 0/6 geht nicht also Widerspruch?

Answer 1

Aloha :)

Induktionsanfang bei \(n=0\) macht wenig Sinn, weil die Obergrenze der Summe dann negativ ist. Daher würde ich bei \(n=1\) anfangen.

Zu zeigen: \(\sum\limits_{k=0}^{n-1}k^5\le\frac{n^6}{6}\)

Verankerung bei \(n=1\):

$$\sum\limits_{k=0}^{n-1}k^5=\sum\limits_{k=0}^{0}k^5=0^5<\frac{1}{6}=\frac{n^6}{6}\quad\checkmark$$

Induktionsschritt \(n\to n+1\):

$$\sum\limits_{k=0}^{(n+1)-1}k^5=\sum\limits_{k=0}^{n}k^5=\underbrace{\sum\limits_{k=0}^{n-1}k^5}_{\le\frac{n^6}{6}}+n^5\le\frac{n^6}{6}+n^5=\frac{n^6+6n^5}{6}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=0}^{(n+1)-1}k^5}<\frac{n^6+6n^5+15n^4+20n^3+15n^2+6n+1}{6}=\frac{(n+1)^6}{6}\quad\checkmark$$

Wie die Induktion gezeigt hat, gilt sogar: \(\sum\limits_{k=0}^{n-1}k^5<\frac{n^6}{6}\)