Grenzwert einer Zahlenfolge berechnen

Question

Aufgabe:

Bei einer nicht alternierenden geometrischen Folge \( a_{k} \) mit \( k=1,2, \ldots . \) gilt: \( a_{12}=20 \) und \( a_{20}=10 \)

a) Berechnen Sie die exakten Werte des Quotienten \( q \) und des Anfangsglieds \( a_{1} \)

b) Bestimmen Sie \( a_{100} \) als exakten Wert.

c) Geben Sie den exakten Wert der Summe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \) an.

Ich habe a und b gelöst, jedoch bei c scheiterts wegen meine Know-How an Grenzwerten... Wie muss ich da generell vorgehen? Hat mir jemand einen Vorschlag oder Tipp?

Answer 1

20*q^8= 10

q^8 = 0,5

q= 0,5^(1/8)

a1= a12*q^(-11)

b)a100= a20*q^80

c) Summe = a1/(1-q)

Comments

Vielen Dank. Ich hötte eine Frage bezüglich Grenzwerten. Wenn mein Zähler und mein Nenner den gleichen Grad haben.. wieso teilt man durch den exponenten? Beispiel:

Text erkannt:

\( \frac{t^{2} n+2}{\sqrt{n^{2}+1}+\sqrt{n^{2}-2 n-1}} \)

 Hier multipliziert man ja danach 1/x^2 und kann schauen, was gegen null geht, aber wieso?

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Klammere im Nenner n aus und kürze mit n.

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. wieso teilt man durch den exponenten?
Hier multipliziert man ja danach 1/x²

Mann, Mann, Mann, ...

Nirgendwo wird durch den Exponenten geteilt. Und da, wo nur n vorkam, hat auch niemand  mit 1/x² multipliziert.

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Man kann ja n^2 ausklammern dann wäre: 2n/n / Wurzel (n^2/n^2 + n/n^2) + Wurzel(n^2/n^2 - n/n^2) -> 2/Wurzel(1)+Wurzel(1) = 1 .. Ich wende die Regeln an, aber ich verstehe nicht, wieso man es macht...

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Klammere unter den WUrzeln n^2 aus, dann Teilwurzeln aus den Produkten ziehen.

Dann hast du n als Faktor vor der Wurzel, mit dem du kürzen kannst.

√(a^2-b) = √a^2(1-b/a^2) = a*(√1-b/a^2)

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aber ich verstehe nicht, wieso man es macht...

Man macht es, damit der Term seine nicht nutzbare Form

\( \frac{∞}{∞+∞} \)  verliert.