Question

Sei V ⊆ R⁴ der Lösungsraum des Gleichungssystems x₁−x₂−x₃ = 0,
x₁ + x₂ + 2x₃ − x₄ = 0. Sei F : R⁴ → R⁴ der Endomorphismus F = L_A für

A = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\  -5 & 3 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 & 0 \\ 4 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \)

.
Zeigen Sie, dass F|_V ein Endomorphismsus von V ist, und berechnen Sie det(F|_V ).

und zwar soll ich diese Aufgabe bis morgen abgeben und diese wird bewertet. Allerdings habe ich kein Plan, wie ich diese Aufgabe löse.

Answer 1

Ich würde so vorgehen: erst eine Basis von V bestimmen (das müssen zwei Vektoren sein, überlege warum). Dann die Abbildung F auf diese beiden Vektoren anwenden. Ich gehe mal davon aus, dass die Schreibweise einfach nur bedeutet, dass F(v)=A*v für jeden Vektor v ist. Wenn es ein Endomorphismus sein soll, müssen die Bildvektoren wieder in V liegen. Das kann man durch die definierenden Bedingungen kontrollieren. Für die Determinante kannst du eine 2x2-Matrix erstellen, die die lineare Abbildung bezüglich der Basis beschreibt, und von dieser Matrix die Determinante ausrechnen.

Comments

Also ich habe als Basis die beiden Vektoren (-0.5,-1.5,1,0) und (0.5,0.5,0,1) raus. Ja es handelt sich um einen Endomorphismus....

 Als Determinante hab ich 2 raus.

Stimmt das ?

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Die Basisvektoren stimmen, etwas einfacher wäre noch, sie mit -2 bzw. 2 zu vervielfachen, um ganze und möglichst wenige negative Zahlen zu erhalten. Bei den Bildvektoren verrechne ich mich entweder andauernd oder ich habe was falsch verstanden oder irgendwas anderes passt nicht. Das Bild des zweiten Basisvektors liegt bei mir nicht in V und kann daher auch nicht als Linearkombination der beiden Basisvektoren dargestellt werden. Wie sehen deine Zwischenergebnisse für die Bildvektoren und die Linearkombinationen bzw. die Darstellungsmatrix aus?

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Als Bildvektoren habe ich (-0.5,2,1.5,0.5) und (0.5,0,0.5,1.5) raus

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Da habe ich minimal andere Ergebnisse, die ich auch schon mehrfach kontrolliert habe. Kann es sein, dass die Matrix A nicht stimmt? Vielleicht ein falsches Vorzeichen? Bei dir wäre übrigens der erste Bildvektor nicht in V. Oder ist auch hier ein Vorzeichen falsch? Bitte kontrolliere die angegebenen Zahlen doppelt und dreifach, sonst rechnen wir immer aneinander vorbei.

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Es tut mir leid, ich habe mich hier vertippt. In der zweiten Zeile 4 spalte steht 1 und nicht -1

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Jetzt passt auch alles. Die beiden Bildvektoren lassen sich darstellen als Linearkombination der Basisvektoren mit den Faktoren 1,5 und 0,5 bzw. 0,5 und 1,5. Und die Determinante der Matrix ist tatsächlich 2.