Monotonie von Funktionen

Question

Hallo euch!

ich hab zwei Sätze zu beweisen:

Seien f,g: ℝ→[0,unendlich) Funktionen. Zu beweisen sind die folgende Sätze,

a) f und g monoton wachsend ⇒ f * g monoton wachsend

ich hab die Definitionen geschrieben also das für alle x,y in R mit x≤y gelten soll f(x)≤f(y) und analog für g also g(x)≤g(y)

dann für die Produkt von zwei Funktionen haben wir (f * g)(x) = f(x) * g(x)

und dann zu zeigen  wäre dass für alle x und y auf R mit x≤y gilt f(x) * g(x) ≤ f(y) * g(y)

folgt das automatisch aus die Definition oder kann man eine schönere Erklärung geben?

b) aus f * g monoton folgt nicht dass f und g monoton sein müssen

das hab ich überlegt mit Widerspruch zu machen und dann ein Gegenbeispiel zu finden. Also das Gegenbeispiel wäre zu finden ein monotone Funktion die als Produkt von eine monotone mit eine nicht monotone Funktion herauskommt oder als Produkt von zwei nicht-monotone Funktionen. Ich hab verschiedene Fälle versucht aber ich komme zu nichts konkretes

Ich danke euch im Voruas für eure Hilfe,

LG

Answer 1

a) f(x) * g(x) ≤ f(x) * g(y)≤ f(y) * g(y) rot stimmt, da links zwei nichtnegative Zahlen stehen. Wenn man einen Faktor vergrößert, vergrößert sich das Produkt. grün: dasselbe nochmal.

Was ist wichtig: der Wertebereich! ≥0

b) f(x) = x² , g(x)=x

f(x)g(x) = x³ ist mon. steigend, f(x) ist nicht monoton.

Der Satz in a) gilt auch nicht, wenn man die Voraussetzung vernachlässigt:

f(x) = x , g(x)=x. Beide mon. steigend. Das Produkt (Normalparabel) nicht.

Comments

Beispiel für b) hinzugefügt!

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Danke dir vielmals, es war super klar.

ich hätte nur eine kleine Frage,

"Der Satz in a) gilt auch nicht, wenn man die Voraussetzung vernachlässigt:"

wenn man welche Voraussetzung vernachlässigt? Also wieso ist in unserem Fall die Aussage richtig?

Ich bedanke dir nochmals,

LG

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Der Satz gilt nur, wenn der Wertebereich = [0,unendlich) . Diese Voraussetzung darf man nicht weglassen!