Volumen berechnen von K:={ (x; y; z) e R^3 I x^2+y^2<=1 und y^2+z^2<=1}

Question

Aufgabe:

Gegeben ist folgende Menge K:={ (x; y; z) e R^3 I x^2+y^2<=1 und y^2+z^2<=1}

Problem/Ansatz:

Meine Überlegung wäre, das es sich um zwei Kreise handelt welche einmal über die x und y Achse und y und z Achse gehen. So als würde ein Zylinder von einem anderen durchstoßen werden. Daher wäre mein Ansatz das Volumen über die Polarkoordinaten und die transformation in die Zylinderkoordinaten zu bestimmen. Leider komme ich bei der Bestimmung der Grenzen nicht weiter. Bis auf 0<=phi<=2pi komme ich nicht auf die anderen.

Answer 1

Aloha :)

Wegen \(x^2+y^2\le1\) muss \(x\in[-1;1]\) sein. In Abhängigkeit davon ist dann \(y\in[-\sqrt{1-x^2};\sqrt{1-x^2}]\). Wegen \(y^2+z^2\le1\) gilt in Abhängigkeit von \(y\) dann \(z\in[-\sqrt{1-y^2};\sqrt{1-y^2}]\). Das Volumen is daher:

$$V=\int\limits_{-1}^1dx\int\limits_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}dy\int\limits_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}dz$$$$\phantom{V}=\int\limits_{-1}^1dx\int\limits_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}dy\left[z\right]_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}=2\int\limits_{-1}^1dx\int\limits_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}dy\sqrt{1-y^2}$$$$\phantom{V}=2\int\limits_{-1}^1dx\frac{1}{2}\left[y\sqrt{1-y^2}+\arcsin(y)\right]_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}$$$$\phantom{V}=\int\limits_{-1}^1dx\left(2\sqrt{1-x^2}\underbrace{\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}^2}}_{=\sqrt{x^2}=|x|}+\underbrace{\arcsin\sqrt{1-x^2}-\arcsin(-\sqrt{1-x^2})}_{=2\arcsin\sqrt{1-x^2}}\right)$$$$\phantom{V}=2\int\limits_{-1}^1\left(|x|\sqrt{1-x^2}+\arcsin\sqrt{1-x^2}\right)dx$$weil der Integrand gerade ist, können wir uns auf positive \(x\) beschränken:$$\phantom{V}=4\int\limits_0^1\left(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin\sqrt{1-x^2}\right)dx=\cdots=4\left(\frac{1}{3}+1\right)=\frac{16}{3}$$

Comments

Ich kann zwar deinen Lösungsweg nachvollziehen, aber würde die Integration auch mit Zylinderkoordinaten bzw. mit Kugelkoordinaten funktionieren?

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Ja, es geht auch in Zylinderkoordinaten:

$$\vec r=\left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{array}\right)$$$$r\in[0;1]\;\;;\;\;\varphi\in[0;2\pi]\;\;;\;\;z\in\left[-\sqrt{1-r^2\sin^2\varphi}\;;\;\sqrt{1-r^2\sin^2\varphi}\right]$$$$dV=r\,dr\,d\varphi\,dz$$

Mir war nicht klar, dass Zyinderkoordinaten erlaubt sind. Du kannst das ja mal durchrechnen und schauen, ob du zum gleichen Ergebnis kommst.

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Ach so, das habe ich vergessen hinzuzuschreiben. Ok ich hab es mal durchgerechnet:

Ich komme auf die gleichen Grenzen

Mein Integral habe ich so aufgestellt: \( \int\limits_{-\sqrt{1-r^2*sin^2(φ)}}^{\sqrt{1-r^2*sin^2(φ)}} \) \( \int\limits_{0}^{2π} \) \( \int\limits_{-1}^{1} \) rd(r; φ; z)

als Ergebnis bekomme ich 4π\( \sqrt{1-r^2*sin^2(φ)} \)

Hätte ich etwa die Reihenfolge der Integrationen vertauschen sollen?

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Da die \(dz\)-Integralgrenzen von \(r\) und \(\varphi\) abhängen, musst du zuerst über \(dz\) integrieren, bevor du \(r\) und \(\varphi\) laufen lässt.

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Ah ja klingt logisch. Vielen Dank nochmal