Eine Funktion g : R → C ist periodisch mit Periodenlänge L > 0, wenn für alle x ∈ R gilt g(x+L) = g(x)

Question

Eine Funktion g : ℝ → ℂ ist periodisch mit Periodenlänge L > 0, wenn für alle x ∈ ℝ gilt g(x+L) = g(x)

Sei g:ℝ→ℝ stetig peridoisch mit L=2 und es ist g(0)>g(1) der Fall, so soll man zeigen dass h:ℝ→ℝ welches mit h(x)=g(x²) definiert wird, nicht gleichmäßig stetig ist.

Answer 1

Sei g:ℝ→ℝ stetig peridoisch mit L=2

Zum Beispiel g(x) = cos(πx).

und es ist g(0)>g(1)

Check.

Die Transformation

        f(x) = g(a·x)

mit a > 1 staucht die Funktion horizontal mit dem Faktor a. Das heißt aus der Periode 2 von g wird die Periode 2/a < 2 von f.

h:ℝ→ℝ welches mit h(x)=g(x²) definiert wird

Wegen x² = x·x ist das für x > 1 ebenfalls eine horizontale Stauschung. Der Faktor, um den gestaucht wird, ist aber nicht konstant, sondern hängt selbst wieder von x ab und wird für x →∞ beliebig groß. Der Abstand L, nach dem sich Funktionswerte wiederholen, hängt also ebenfalls von x ab und wird für x →∞ beliebig klein.

Fall 1. g ist nicht stetig. Dann ist g nicht gleichmäßig stetig.

Fall 2. g ist stetig. Sei dann x₀ ∈ (0, 1) mit g(0) > g(x₀) > g(1) (Warum existiert ein solches x₀?). Sei ε > 0 so dass h(0) ∉ [h(x₀)-ε, h(x₀)+ε] und h(1) ∉ [h(x₀)-ε, h(x₀)+ε]. Aufgrund oben erwähnter Stauchung gibt es für jedes δ>0 eine Stelle x₁ , so dass

        [h(x₁)-ε, h(x₁)+ε] ⊄ h([x₁-δ, x₁+δ])

ist.