Hallo Community,
habe momentan ein Problem bei der folgenden Aufgabe. Wichtig wäre mir, falls dieses Polynom einen bestimmten wichtigen Namen hat, den zu wissen, damit ich Lehrsätze darüber lesen kann.
Aufgabe:
\( \mathrm{Sei}\ p(T):=T^{n}-\alpha_{n-1} T^{n-1}-\alpha_{n-2} T^{n-2}-\cdots-\alpha_{0} \in K[T] \) ein Polynom.
$$ \begin{array}{l} {\text { Dann heißt die Matrix }} \\ {\qquad A:=\left(\begin{array}{cccccc} {0} & {1} & {0} & {} & {\cdots} & {0} \\ {} & {0} & {1} & {0} & {} \\ {} & {\ddots} & {\ddots} & {\ddots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {} & {\ddots} & {\ddots} & {\ddots} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {\ddots} & {\ddots} & {0} & {1} \\ {\alpha_{0}} & {\alpha_{1}} & {\alpha_{2}} & {\cdots} & {\alpha_{n-2}} & {\alpha_{n-1}} \end{array}\right)} \end{array} $$
die Begleitmatrix zu \( p \). Zeigen Sie:
(a) Für das charakteristische Polynom \( \chi_{A}(T) \) von \( p \) gilt \( \chi_{A}(T)=(-1)^{n} p(T) \)
(b) ...
(c) ...
Problem/Ansatz:
Wie beweise ich a) beziehungsweise woher soll ich wissen was \( \chi_{A}(T) \) von \( p \) ist?
Ist dieses Polynom ein spezielles Polynom was einen Namen hat? Würde gerne darüber die Lehrsätze darüber lesen.
