Charakteristisches Polynom berechnen, diagonalisierbar? Mich verwirrt das (F7)

Question

Berechnen Sie für die Matrix A=(4 0 5, 6 1 6, 5 6 2) Mat3 (F7) das charakteristische Polynom χA(T) yowie das Spektrum σ(A) c F7, Und entscheiden Sie, ob Alles diagonaliserbar ist.

Ich habe das charakteristische Polynom berechnet, die Eigenwerte bzw. die Nullstellen dessen und fand somit heraus, dass diese diagonaliserbar ist. Allerdings verwirrt mit das (F7) nun. Kann mir dies bitte jemand in diesem Zusammenhang genauer erklären?

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Das \( \mathbb{F}_7 \) ist der Körper aus dem die Einträge der Matrix kommen. Wie kannst du die Aufgabe durchrechnen, ohne das zu wissen? Wie lauten denn deine Ergebnisse?

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Was tut Wolframalpha hier https://www.wolframalpha.com/input/?i=((4,+0,+5),+(6+,+1,+6),+(5,+6,+2))+modulo+7

?

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Die Nullstellen, Eigenwerte des Polynoms und Diagonaliserbarkeit der Matrix berechnen

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Ja schon. Aber "modulo 7" wird weggefiltert ?

Gastjc2144 hat ja dort "dein" charakteristisches Polynom eingegeben und ein Resultat modulo 7 bekommen. Interessant könnte die erste "alternate form" sein. Die "verkleinert" 193 erheblich.

Dort dann einfach k=0, k=2, ... bis k=6 durchtesten. Dann bist du fertig, wenn dein Polynom richtig war.

Answer 1

F_7 hat nur endlich viele Elemente.

Setze alle Elemente in das charakteristische Polynom ein, um die Nullstellen zu finden. Dabei musst du modulo 7 rechnen.

Die einzige Nullstelle ist lambda=6

http://m.wolframalpha.com/input/?i=%28λ³-67λ%2B193%29mod+7%3D0

Answer 2

Hallo

 F7 heisst du musst alles mod 7 rechnen, d.h. z.b. keine Brüche, sondern mit den Inversen rechnen.

Gruß lul

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Ich habe das tatsächlich einfach außer acht gelassen. War wohl nicht die klugste Idee von mir . Das Polynom meiner Matrix lautet λ³-67λ+193. Mit Hilfe der Polynomdivision habe ich λ²-λ+66 und dann darauf die PQ-Formel aangewendet. Dort bekam ich die Nullstellen λ1= -65,25 und λ2=66,25 heraus. Allerdings habe ich gerade festgestellt, dass das nicht stimmen kann. Was hätte ich denn anders machen müssen? Danke für die Antwort vorab

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Das habe ich gerechnet, aber das scheint ja absolut nicht richtig zu sein 

Answer 3

Nach meinen Berechnungen lautet das charakteristische Polynom p_A(x) = x³ + 2x + 2 = (x + 5)²·(x + 4).
Wegen rg(A + 5E₃) = 2 ist A nicht diagonalisierbar.

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Kannst du vielleicht deinen Rechenweg Posten? Das würde mir sehr helfen das nachzuvollziehen

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$$p_A(x)=\det(xE_3-A)=\begin{vmatrix}x+3&0&2\\1&x+6&1\\2&1&x+5\end{vmatrix}=x^3+14x^2+58x+65=x^3+2x+2.$$Durch Einsetzen aller sieben Körperelemente findet man zwei Nullstellen (x₁ = 2, x₂ = 3) und damit Eigenwerte. Eine davon (x₁ = 2) muss doppelt sein.

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Ich versteh das soweit schon, aber mein Polynom ist λ³-7λ+14λ+8 und ich verstehe nicht, wie du auf dein Polynom kommst. Ich hätte jetzt das polynom berechnet, die Polynomdivision durchgeführt und dann mod7 eingesetzt. Was mache ich falsch? :( Ich komme einfach nicht auf deine Zahlen

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Entwicklung nach der ersten Zeile liefert$$\quad\begin{vmatrix}x+3&0&2\\1&x+6&1\\2&1&x+5\end{vmatrix}=(x+3)\begin{vmatrix}x+6&1\\1&x+5\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}1&x+6\\2&1\end{vmatrix}\\=(x+3)(x^2+11x+29)+2(-2x-11)=\cdots.$$

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Ich verstehe nicht, wie du auf x+3, x+6, x+5 kommst ich habe doch ganz andere Zahlen in der Matrix vorgegeben gehabt :(

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Beachte, dass hier -1=6, -2=5, -3=4, etc. gilt.

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Ich verstehe es leider immer noch nicht, tut mir leid