Hallo,
setzte \(f: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}, (x,y,z)\mapsto z^3+3xyz-1\), dann gilt für die Menge \(A\):$$A=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : z^3+3xyz=1\}=A=\{(x,y,z)\in \mathbb{R} : f(x,y,z)=0\}$$ Du bildest jetzt den Gradienten$$\nabla f(x,y,z)=(3yz, 3xz, 3z^2+3xy)^T\overset{!}{=}(0,0,0)$$ Dies gilt für alle \(y=z=0\) und \(x\) beliebig. Wenn \(z=y=0\), ist es für die Menge eh egal, welches \(x\) man wählt, denn \((t,0,0)\notin A\) für alle \(t\in \mathbb{R}\). Nach dem Satz über den regulären Wert, haben wir nun also eine \(2\)-dimensionale Untermannigfaltigkeit des \(\mathbb{R}^3\).
Du suchst nun eine Tangentialebene an eine implizit gegebene Fläche. Es ist \(\nabla f(1,1,0)=(0,0,3)^T\neq (0,0,0)\). Die Tangentialebene ist gegeben durch $$f_x(1,1,0)(x-1)+f_y(1,1,0)(y-1)+f_z(1,1,0)(z-0)=0$$ Also hast du \(E= \{(x,y,z)\in \mathbb{R} : 3z=0\}\).
