Bestimmung der Nullstellen der Funktion y = -4/9*x²+4/3*x-1 mit der pq-Formel

Question

Wie berechne ich die Nullstellen der Funktion unten mit der pq-Formel?

y = -4/9 * x² + 4/3 * x -1

Answer 1

Voraussetzung für Anwendung der pq-Formel sind:

- vor dem x² muss eine +1 stehen und

- die rechte seite der Gleichung muss 0 sein

 

y = 0 ?

Falls ja, dann -4/9*x² +4/3*x -1 = 0    | *(- 9/4)

x² - 3x + 9/4 = 0

x_1/2 = 3/2 ± Wurzel(9/4-9/4) = 1,5

 

 

Answer 2

Weg ohne p,q Formel mit quadratischer Ergänzung:

 \(-\frac{4}{9} * x² + \frac{4}{3}* x -1=0     |+1    \)

\(-\frac{4}{9} * x² + \frac{4}{3}* x =1  |*(-\frac{9}{4}) \)

\(  x² - 3x =-\frac{9}{4} \)

\(  (x - \frac{3}{2})^2 =-\frac{9}{4}+(\frac{3}{2})^2=0    |\sqrt{~~} \)

\(  x - \frac{3}{2} =0\)

\(  x_1,x_2=\frac{3}{2}=1,5\) doppelte Nullsstelle  → Extremwert (Maximum)

Comments

Hast du etwa über zehn Jahre an diesem Problem gearbeitet?

Hättest du nicht einfach mit der zweiten binomischen Formel arbeiten können?

$$x^2 - 3x + \dfrac{9}{4} = x^2 - 2\cdot x\cdot \dfrac{3}{2} + \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 =\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2$$ Die quadratiche Ergänzung muss hier nicht ergänzt werden, da sie ja schon da steht.