DGL lösen mithilfe anderer DGL - Imaginärteil?

Question

Aufgabe:

z(x) = \( \frac{8-2i}{17} \) · e^ix

Problem/Ansatz:

Servus!

Ich habe oben stehende Gleichung als Ergebnis einer DGL erhalten.

Nun soll ich mit diesem Ergebnis die folgende DGL lösen:

2y´ + 8y = 4sin(x)

Als Musterlösung habe ich:

y(x) = Im (z(x)) = \( \frac{8}{17} \) · sin(x) - \( \frac{2}{17} \) · cos(x)

Ich verstehe jetzt aber leider nicht, warum die DGL dem Imaginärteil entspricht und wie man dann auf dieses Ergebnis kommt.

Answer 1

Mit \(  z(x) = \frac{ 8 - 2i }{  17 } e^{ix} \) gilt \(  z'(x) = i z(x)  \)

Berechne jetzt $$  z'(x) + 4 z(x) = iz + 4z = \frac{ (4+i) (8 - 2i) }{ 17 } e^{ix} = 2 e^{ix} $$

D.h. $$  \operatorname{Im} z'(x) + 4 \operatorname{Im} z(x) = 2 \sin(x) $$