Wie kann mit diesem Term zeigen, dass die Reihe monoton steigt?

Question

Hi, ich soll zeigen, dass die Reihe monoton steigend ist:

$$a_{n}=n^{b}\prod \limits_{k=1}^{n}(1-\frac{b}{k})$$
$$ b\in (0,1)$$

Bin bis jetzt so vorgegangen und habe versucht zu zeigen, dass a_n+1-a_n>0.

Ich weiß aber nicht, wie ich diesen Term weiter vereinfachen kann, sodass dies gezeigt wurde. Habt ihr vielleicht eine Idee?

Habe das bis jetzt so gemacht:

$${(n+1)}^{b}\prod \limits_{k=1}^{n+1}(1-\frac{b}{k})-{n}^{b}\prod \limits_{k=1}^{n}(1-\frac{b}{k})>0$$

Answer 1

Hast du schon mal daran gedacht, in deiner Differenz alles Gemeinsame auszuklammern?

Answer 2

Der Term ist ein Produkt, alle Werte sind positiv (beachte die Voraussetzung). Also macht sicher der Ansatz a_n+1/a_n >= 1 mehr Sinn.