DGL y'= 2xy/(x^2-y^2)

Question

Aufgabe:

y'= 2xy/(x^2-y^2)

Problem/Ansatz:

Ich kann leider einen Schritt aus der Musterlösung nicht nachvollziehen.

Habe den Bereiche gelb markiert.

Answer 1

Y / X  =  C  · X  · ( 1 +y^2 /  X^2 )   |    · X^2

<=>  Y  =  C  · X^2   · ( 1 + y^2 / X^2  )

<=>  Y  =  C  ·( X^2   + y^2 )    |    ·  1/C

<=>  Y / C    =   X^2   + y^2   | - X^2

<=>  Y / C   - X^2     =   y^2   | -     Y/C

<=>   - X^2     =   y^2   -     Y/C       quadr. Ergänzung

<=>   - X^2  + 1 / (2C)     =   Y^2   -     Y/C   + 1 / (2C)

<=>   - X^2  + 1 / (2C)     =  ( y^2   - 1 / (2C) ) ^2

Answer 2

Im ersten Schritt ist das einfach eine Multiplikation mit \( x \) und auflösen der Klammer.

Danach kommt eine quadratische Ergänzung, kennst Du von Gleichungen 2'ten Grades.

Answer 3

Hallo,

alternativ:

Du kannst diese DGL auch als exacte DGL lösen.

y'=( 2xy)/(x^2-y^2) | *(x^2 -y^2)

y' (x^2-y^2)=2xy |-2xy

y' (x^2-y^2)-2xy  =0

dy/dx ((x^2-y^2)-2xy)  =0 |*dx

(x^2-y^2) dy -2xy dx=0

usw.