Zeigen, dass Abbildung orthogonal ist

Question

Aufgabe:

\( \operatorname{Sei}(V,\langle,\rangle) \) ein euklidischer Vektorraum. Für \( w \in V, w \neq 0 \) ist \( s_{w}: V \rightarrow V \) durch \( s_{w}(v):=v-2 \frac{<v_{w}>}{<w, w>} w \) definiert (die Abbildung \( s_{w} \) ist die Spiegelung an der Hyperebene \( \{v \in V |\langle v, w\rangle= 0\} \) ). Zeigen Sie:
(a) \( s_{w} \) ist eine orthogonale Abbildung.

Problem/Ansatz:

Also ich gehe von \(<s_w(v), s_w(u)> \) aus und versuche daraus \(<v, u> \) abzuleiten, aber irgendwie will es nicht so recht. Ist das der falsche Ansatz?

Answer 1

Ja, das ist richtig. Denn, das entspricht ja der Definition von orthogonalen Abbildungen.

Sicher, dass in der Abbildung beim Zähler oben nur <v_w> steht? Oder habt ihr dafür eine Konvention eingeführt?

Answer 2

Versuch es doch mal so:

$$<s_{w}(u),s_{w}(v)>\\=<u-2 \frac{<u,w>}{<w, w>} w,v-2 \frac{<v,w>}{<w, w>} w>\\=<u,v>-<2 \frac{<u,w>}{<w, w>} <w,v>-<2 \frac{<v,w>}{<w, w>} <u,w>+<4 \frac{<v,w><u,w>}{<w, w>^2} <w,w>\\=<u,v>-2< \frac{<u,w>}{<w, w>} <v,w>-2<\frac{<v,w>}{<w, w>} <u,w>+4<\frac{<v,w><u,w>}{<w, w>^2} <w,w>\\=<u,v>-4< \frac{<u,w>}{<w, w>} <v,w>+4<\frac{<v,w><u,w>}{<w, w>}\\=<u,v>$$

Comments

Aber ich habe da leider ein paar Verständnisprobleme; im zweiten Schritt kommt bei dir der Ausdruck vor

\(... - <2 \frac{<u,w>}{<w,w>} <w,v> - ... \).

Meinst du damit

\(... - <2 \frac{<u,w>}{<w,w>} <w,v>> - ...\)

also hast du einfach eine spitze Klammer vergessen (kann ja passieren, kein Ding) oder meinst du etwas ganz anderes?

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Habs! Vergiss meine Frage! Vielen Dank für deine Hilfe! :)