n linear abhängige Vektoren,von denen je n - 1 linear unabhängig sind

Question

Aufgabe:

b) Sei K ein Körper und V ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Gegeben seien n linear
abhängige Vektoren v₁,...., v_n in V , von denen je n - 1 linear unabhängig sind. Weiter seien
α₁,..., α_n ∈ K, so dass

∑ⁿ_i=1 α_iv_i = 0

und α_j≠ 0  für (wenigstens) ein j ∈ {1,...,n } Zeigen Sie:
(i) Es gilt α_i≠ 0 ∀ i=1,...,n

(ii) ist ∑ⁿ_i=1 β_iv_i = 0 mit β_i ∈ K, dann existiert ein λ ∈K, so dass β_i= λα_i ∀ i=1,...,n

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Aufgabe:

Sei $K$ ein Körper und $V$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum. Gegeben seien $n$ linear abhängige Vektoren $v_1, v_2, \ldots, v_n$ in $V$, von denen je $n - 1$ linear unabhängig sind. Weiter seien $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in K$ so dass

$\sum_{i=1}^n \alpha_i v_i = 0$

und $\alpha_j \neq 0$ für (wenigstens) ein $j \in \{1, \ldots, n\}$. Zeigen Sie:

(i) Es gilt $\alpha_i \neq 0$ für alle $i = 1, \ldots, n$.

Beweis:

Angenommen, es gäbe ein $i$ (sagen wir $i = k$) mit $\alpha_k = 0$. Dann können wir die Gleichung

$\sum_{i=1}^n \alpha_i v_i = 0$

als

$\sum_{\substack{i=1 \\ i \neq k}}^n \alpha_i v_i = 0$

schreiben. Da die Vektoren $v_1, v_2, \ldots, v_n$ gegeben sind und aus je $n-1$ linear unabhängigen Vektoren bestehen, müssen also die Vektoren $\{v_i \mid i \neq k\}$ linear unabhängig sein.

Da $\alpha_j \neq 0$ für wenigstens ein $j$ (das könnte $j = k$ oder ein anderes sein), würde das bedeuten, dass die verbleibenden $n-1$ Vektoren $v_1, \ldots, v_{k-1}, v_{k+1}, \ldots, v_n$ linear unabhängig sein müssten. Das widerspricht unserer Annahme, dass die Vektoren $v_1, \ldots, v_n$ linear abhängig sind.

Somit muss $\alpha_k \neq 0$ für alle $k = 1, \ldots, n$. Daher ist bewiesen, dass $\alpha_i \neq 0$ für alle $i$.

(ii) Ist $\sum_{i=1}^n \beta_i v_i = 0$ mit $\beta_i \in K$, dann existiert ein $\lambda \in K$, so dass $\beta_i = \lambda \alpha_i$ für alle $i = 1, \ldots, n$.

Beweis:

Da $v_1, v_2, \ldots, v_n$ linear abhängig sind, ist die Lösungsmenge der Gleichung

$\sum_{i=1}^n \alpha_i v_i = 0$

ein Unterraum von $K^n$, der Dimension $n-1$ hat.

Angenommen, es gibt eine andere Lösung $\sum_{i=1}^n \beta_i v_i = 0$, dann müssen die Vektoren $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ und $\beta = (\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n)$ linear abhängig sein, da die Dimension der Lösungsmenge $n-1$ beträgt. Das heißt, es gibt ein $\lambda \in K$ (nicht null), so dass

$\beta_i = \lambda \alpha_i$

für alle $i = 1, 2, \ldots, n$.

Damit ist gezeigt, dass $\beta_i = \lambda \alpha_i$ für alle $i = 1, \ldots, n$ gilt, was den Beweis abschließt.