n linear abhängige Vektoren,von denen je n - 1 linear unabhängig sind

Question

Aufgabe:

b) Sei K ein Körper und V ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Gegeben seien n linear
abhängige Vektoren v₁,...., v_n in V , von denen je n - 1 linear unabhängig sind. Weiter seien
α₁,..., α_n ∈ K, so dass

∑ⁿ_i=1 α_iv_i = 0

und α_j≠ 0  für (wenigstens) ein j ∈ {1,...,n } Zeigen Sie:
(i) Es gilt α_i≠ 0 ∀ i=1,...,n

(ii) ist ∑ⁿ_i=1 β_iv_i = 0 mit β_i ∈ K, dann existiert ein λ ∈K, so dass β_i= λα_i ∀ i=1,...,n

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Aufgabe:

Sei \( K \) ein Körper und \( V \) ein \( n \)-dimensionaler \( K \)-Vektorraum. Gegeben seien \( n \) linear abhängige Vektoren \( v_1, v_2, \ldots, v_n \) in \( V \), von denen je \( n - 1 \) linear unabhängig sind. Weiter seien \( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in K \) so dass

\( \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i = 0 \)

und \( \alpha_j \neq 0 \) für (wenigstens) ein \( j \in \{1, \ldots, n\} \). Zeigen Sie:

(i) Es gilt \(\alpha_i \neq 0 \) für alle \(i = 1, \ldots, n\).

Beweis:

Angenommen, es gäbe ein \( i \) (sagen wir \( i = k \)) mit \( \alpha_k = 0 \). Dann können wir die Gleichung

\( \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i = 0 \)

als

\( \sum_{\substack{i=1 \\ i \neq k}}^n \alpha_i v_i = 0 \)

schreiben. Da die Vektoren \( v_1, v_2, \ldots, v_n \) gegeben sind und aus je \( n-1 \) linear unabhängigen Vektoren bestehen, müssen also die Vektoren \( \{v_i \mid i \neq k\} \) linear unabhängig sein.

Da \( \alpha_j \neq 0 \) für wenigstens ein \( j \) (das könnte \( j = k \) oder ein anderes sein), würde das bedeuten, dass die verbleibenden \( n-1 \) Vektoren \( v_1, \ldots, v_{k-1}, v_{k+1}, \ldots, v_n \) linear unabhängig sein müssten. Das widerspricht unserer Annahme, dass die Vektoren \( v_1, \ldots, v_n \) linear abhängig sind.

Somit muss \( \alpha_k \neq 0 \) für alle \( k = 1, \ldots, n \). Daher ist bewiesen, dass \( \alpha_i \neq 0 \) für alle \( i \).

(ii) Ist \(\sum_{i=1}^n \beta_i v_i = 0 \) mit \(\beta_i \in K\), dann existiert ein \(\lambda \in K\), so dass \(\beta_i = \lambda \alpha_i \) für alle \( i = 1, \ldots, n\).

Beweis:

Da \( v_1, v_2, \ldots, v_n \) linear abhängig sind, ist die Lösungsmenge der Gleichung

\( \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i = 0 \)

ein Unterraum von \( K^n \), der Dimension \( n-1 \) hat.

Angenommen, es gibt eine andere Lösung \( \sum_{i=1}^n \beta_i v_i = 0 \), dann müssen die Vektoren \( \alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n) \) und \( \beta = (\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n) \) linear abhängig sein, da die Dimension der Lösungsmenge \( n-1 \) beträgt. Das heißt, es gibt ein \( \lambda \in K \) (nicht null), so dass

\( \beta_i = \lambda \alpha_i \)

für alle \( i = 1, 2, \ldots, n \).

Damit ist gezeigt, dass \( \beta_i = \lambda \alpha_i \) für alle \( i = 1, \ldots, n \) gilt, was den Beweis abschließt.