Konvergenzbeziehung von Reihen / Folgen

Question

Hallo, wir müssen folgende Aufgabe bearbeiten:

Seien (a_n) n∈ℕ und (b_n) n∈ℕ Folgen positiver reeller Zahlen mit \( \lim\limits_{n\to\infty} \)  a_n  / b_n = c

(a) Zeigen Sie: Ist c > 0, so konvergiert \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{} \) a_n  genau dann, wenn \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{} \) b_n konvergiert.
(b) Zeigen Sie durch Angabe eines expliziten Gegenbeispiels, dass die Aussage in (a) falsch ist, wenn
c = 0 gilt.

Ich habe gar keinen Ansatz, es wäre sehr nett, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.

LG

Answer 1

Hallo,

ich habe zwar selbst kaum Zeit gerade, aber ich vermute, dass du aus der Information, dass \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=c>0\) mit Umschreiben zu $$\left | \frac{a_n}{b_n}-c\right |<\varepsilon \Leftrightarrow -\varepsilon < \frac{a_n}{b_n}-c<\varepsilon \Leftrightarrow c-\varepsilon <\frac{a_n}{b_n}<c+\varepsilon$$ irgendwie abschätzen kannst und das Majorantenkriterium anwenden kannst.

Comments

Danke für deinen Aufwand, obwohl du nicht viel Zeit hast!

Könntest du vlt. noch kurz erläutern, was als nächstes alles zu tun ist?

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Ich bin gerade selbst an meinem Übungsblatt frustiert, aber ich denke, dass du das Majorantenkriterium anwenden solltest. Du weißt, dass  \( c-\varepsilon <\frac{a_n}{b_n}<c+\varepsilon\), also \(|a_n|<b_n(c+\varepsilon)\) und wenn wir annehmen, dass \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{b_n}\) konvergiert, dann konvergiert auch \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n}\), da \(c+\varepsilon\) nur eine Konstante ist - weißt du, was ich meine? Andersherum analog.

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Vielen Dank jetzt habe ich es größtenteils verstanden! Aber warum gilt das nur für c > 0? Das habe ich noch nicht richtig verstanden

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Nunja, das rührt daher, dass ansonsten \(c+\varepsilon >0\) werden könnte, wenn \(c>0\) und \(\varepsilon >0\). Zu (b) kannst du dir ja mal selbst Gedanken machen.