Betrachte zunächst \(\displaystyle z\in[-2,a], -2\leq a\leq2\).
Die untere Grenze ist klar und habe ich deswegen schon fest gesetzt.
Eingesetzt in den Schnitt ergibt das für die untere Grenze
\(\displaystyle[-2-1,-2+1]\cap[-1,1]=[-3,-1]\cap[-1,1]=\{-1\}\).
Das bedeutet, dass -1 die untere Grenze vom Schnitt ist, da der Schnitt für wachsendes z auch größer wird.
Damit ergibt sich schon mal
\(\displaystyle[z-1,z+1]\cap[-1,1]=[-1,b], -1\leq b\leq1\).
Für \(\displaystyle z=0\) gilt \(\displaystyle[-1,1]\cap[-1,1]=[-1,1]\).
Über die Länge des Intervalls folgt direkt, dass
\(\displaystyle[z-1,z+1]\cap[-1,1]=[-1,z+1]\).
Sei nun \(\displaystyle z>0\). Dann ist \(\displaystyle[z-1,z+1]\cap[-1,1]\neq[-1,z+1]\), da \(\displaystyle z-1>-1\). Das ist aber ein Widerspruch zu obiger Feststellung. Das heißt für z>0 muss man den Schnitt neu betrachten. Das Intervall folgt dann direkt analog für z<0. Die Grenze für z=0 kann frei gewählt werden, da für beide Intervalle das selbe Ergebnis heraus kommt.
Noch zur Überprüfung die Dichte: \(\displaystyle f_Z(z)=\begin{cases}0 &\text{für}\ z<-2\\ \frac{2+z}4&\text{für}\ z\in[-2,0]\\ \frac{2-z}4&\text{für}\ z\in(0,2]\\ 0 &\text{für}\ z>2\end{cases}\)
