Dichte der Zufallsvariablen Z = X + Y

Question

Aufgabe:

Es seien X, Y ∼ UC[− 1/2 , 1/2 ] unabhängige, gleichverteilte Zufallsvariablen. Zeigen Sie, dass die Funktion
f_Z : R → R, f_Z (z) = (1 − |z|) 1_(-1,1)(z)
eine Dichte der Zufallsvariablen Z = X + Y ist.

Problem/Ansatz:

Soll ich bei der Aufgabe in dem Fall lediglich prüfen ob, das passiert oder täusche ich mich

\( \int\limits_{-ℝ}^{ℝ} \) (1 − |z|) 1_(-1,1)(z) dz = \( \int\limits_{-1}^{1} \) (1 − |z|) dz = ... = 1 

Answer 1

Soll ich bei der Aufgabe in dem Fall lediglich prüfen ob, das passiert oder täusche ich mich

Richtig. Genau das sollst du prüfen. Du täuscht dich nicht.

Comments

Das verstehe ich nicht: Wo /Wie wird der Zusammenhang mit X+Y hergestellt??

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Die Zufallsvariable Z ergibt sich aus der Addition der Zufallsvariablen X und Y.

Z = X + Y

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Das reicht hier aber eben nicht aus. Gezeigt wird nämlich nur (!), dass die angegebene Funktion eine Dichte ist. Dass sie aber auch zur Zufallsvariablen Z gehört, wurde hier nicht gezeigt.

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Wie würde man denn zeigen, dass sie zu der Zufallsvariablen Z gehört

Answer 2

Um zu zeigen, dass die Dichte tatsächlich zu \(Z=X+Y\) gehört, muss man die Dichte \(f_{Z}(z)\) explizit berechnen. Das geht aber über die Faltung:

Es ist \(f_Z(z)=(f_X\ast f_Y)(z)\).

Anleitung:

1. Faltungsformel aufstellen und \(y\) schreiben als \(z-x\).

2. Sich überlegen, wie man die Grenzen des Integrals anpassen kann. Es muss \(-\frac{1}{2}\leq z-x\leq \frac{1}{2}\) sein.

3. Dichten einsetzen und Integral berechnen.