Äquivalente Matrizen: T, S finden sodass T*A*S = I gilt??

Question

Aufgabe:

Gegeben sei folgende Matrix:

A = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)

Finde Matrizen T ∈ GL₄(ℚ) und S ∈ GL₅(ℚ), so dass das Produkt TAS von der Form

\( \begin{pmatrix} Ir & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)  ist, wobei Ir die r x r- Einheitsmatrix ist (r = Rang(A)) und 0 jeweils eine Nullmatrix bezeichnet. 

Leider habe ich keinen blassen Schimmer, was damit gemeint ist... Ich würde mich über jede Hilfe freuen.

Answer 1

Nun, am besten arbeitest Du mit Elementarmatrizen

https://www.geogebra.org/m/qbtj5mhd

etwa

Zeilenoperationen von Links A Spaltenoperationen von Rechts

T(n,z,s) tausche Rⁿ-Matrix Zeile/Spalte
E(n,z,s,a)  Rⁿ-Matrix addiere zZeile= zZeile + a  sZeile/ addiere  sSpalte=a zSpalte+sSpalte

T(4,3,4) E(4,3,2,2) T(4,2,3) E(4,4,1,2) E(4,2,1,-1) A T(5,4,5) E(5,4,3,-10/4) T(5,3,4) E(5,1,4,-5/2) E(5,1,3,-1) E(5,2,4,-2) E(5,3,3,1/4)

\(\scriptsize \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&0&1&0\\2&0&0&1\\-1&1&2&0\\\end{array}\right)   \, \left(\begin{array}{rrrrr}1&0&5&0&1\\1&-2&1&0&1\\0&1&2&0&0\\-2&0&0&0&2\\\end{array}\right)   \, \left(\begin{array}{rrrrr}1&0&-\frac{1}{4}&-\frac{5}{2}&0\\0&1&0&-2&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&\frac{1}{4}&-\frac{5}{2}&0\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrrrr}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}\right)\)

Comments

Hallo, danke erstmal für die ausführliche Antwort. Allerdings habe ich eine Frage: Wendest du ganzen

Zeilen-/ Spaltenoperatoren T(4,3,4) E(4,3,2,2) T(4,2,3) E(4,4,1,2) E(4,2,1,-1) A T(5,4,5) E(5,4,3,-10/4) T(5,3,4) E(5,1,4,-5/2) E(5,1,3,-1) E(5,2,4,-2) E(5,3,3,1/4) auf die Einheitsmatrix an?

Also für Zeilenoperation, sprich : T(4,3,4) E(4,3,2,2) T(4,2,3) E(4,4,1,2) E(4,2,1,-1) auf die 4x4 - Einheitsmatrix und

die Spaltenoperation (T(5,4,5) E(5,4,3,-10/4) T(5,3,4) E(5,1,4,-5/2) E(5,1,3,-1) E(5,2,4,-2) E(5,3,3,1/4)) auf die 5x5- Einheitsmatrix ?

Ich habe das nämlich versucht und bekomme andere Werte als du heraus...

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Wieso Einheitsmatrix? Wir arbeiten mit A:
Wenn Du die gleichen Zeilen/Spalten-Operatoinen anwendest, dann solltest Du auch mein Ergebnis erhalten. Es gibt aber ggf. andere Schrittfolgen....

Ich rede von Elementarmatrizen https://www.geogebra.org/m/dc27zpw5

und gehe schrittweise vor (wie beim Gauß-Algorithmus - Spalten 0en)

E(4,4,1,2) E(4,2,1,-1)  A

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\ \large -1&1&0&0\\0&0&1&0\\ \large 2&0&0&1\\\end{array}\right) A=  \, \left(\begin{array}{rrrrr}1&0&5&0&1\\0&-2&-4&0&0\\0&1&2&0&0\\0&0&10&0&4\\\end{array}\right)\)

Jetzt tauschen wir von rechts mit T(5,4,5) die Spalten 4/5 und links T(4,2,3) die Zeilen 2/3 damit wir die 1 in der Diagonalen (a22) bekommen

T(4,2,3) E(4,4,1,2) E(4,2,1,-1) A T(5,4,5)

und mit dem Gauss weitermachen usw...

ggb:

Wenn Du mit der Link-App arbeiten willst, musst Du die E,T-Erzeuger anpassen, damit die Matrixdimension n mit übergeben werden kann. Wir brauchen links R_4x4 und rechts R_5x5 Matrizen

Wenn Du von Hand arbeiten willst E(n,z,s,a) ist eine n-Einheitsmatrix mit e_zs=a und T(n,z,s) ist eine n-Einheitsmatrix mit z<>s Zeilen getauscht.

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Ich kenne das so, dass man die Identitätsmatrix jeweils mit der Operation ändert, wie wenn man das Inverse bestimmt. Allerdings für jede Operation eine separate Matrix. Hast du einfach jede Operation in eine Matrix gemacht? Also alle Elementarmatrizen miteinander multipliziert?

Wie kommst du auf T(4,3,4) E(4,3,2,2) T(4,2,3) E(4,4,1,2) E(4,2,1,-1) A T(5,4,5) E(5,4,3,-10/4) T(5,3,4) E(5,1,4,-5/2) E(5,1,3,-1) E(5,2,4,-2) E(5,3,3,1/4) ?

Sind das alle Schritte die du durchgehst, wenn du das Inverse von A bestimmen würdest?

Das Thema ist soo neu, deshalb danke ich jetzt schonmal für deine Geduld :)

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Du gehst vor wie bei der Bestimmung der Inversen, die auf eine Einheitsmatrix führt. Nur hast Du keine Identitätsmatrix mit zu ändern/ mit zu führen, weil die in den Elementarmatrizen steckt - wir übertragen die Zeilen- und Spaltenoperationen auf  eigene Matrizen (die Elementarmatrizen)

Wenn 0-Spalten entstehen( siehe Beispiel oben), dann tauscht Du sie an den "rechten Rand".

Du solltest das Ergebnis nach jedem T/E-Schritt betrachten und dann entscheiden, wie es weiter geht.

Ich kann Dir nur GeoGebra empfehlen - da verrechnetst Du dich wenigstens nicht. Ob Du die Matrizen von Hand schreibst oder meine E/T-Erzeugerfunktionen verwendest ist unerheblich. Jedenfalls muss aus

E(4,3,2,2) sowas wie E mit e₃₂=2 \(\small \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&2&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right)\) werden.

Wenn Du die Einheitsmatrix erzeugt hast, fasst Du die linken Elementarmatrizen zu T und die rechten zu S zusammen.

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Also ich habe es jetzt lange versucht und auf Matrix T ∈ GL₄(ℚ) bin ich auch gekommen. Allerdings scheitere ich beim Berechnen von S ∈ GL₅(ℚ).

Ich habe die Elementarmatrizen T(5,4,5) E(5,4,3,-10/4) T(5,3,4) E(5,1,4,-5/2) E(5,1,3,-1) E(5,2,4,-2) E(5,3,3,1/4) alle miteinander multipliziert. Meine Elementarmatrizen sind:

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \)  T(5,4,5)

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{10}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)  E(5,4,3,-10/4)

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) T(5,3,4)

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\frac{5}{2} & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)   E(5,1,4,-5/2)

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)  E(5,1,3,-1)

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)  E(5,2,4,-2)

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{5}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) E(5,3,3,1/4)

T(5,4,5) E(5,4,3,-10/4) T(5,3,4) E(5,1,4,-5/2) E(5,1,3,-1) E(5,2,4,-2) E(5,3,3,1/4) ergibt bei mir: 

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{5}{2} & -2 & \frac{25}{8} & 1 & 0 \\ -\frac{5}{2} & 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & \frac{5}{4} & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Mit GeoGebra kann ich leider gar nicht arbeiten... Ich hoffe du siehst meinen Fehler und kannst helfen.

Und "T(4,3,4) E(4,3,2,2) T(4,2,3) E(4,4,1,2) E(4,2,1,-1) A T(5,4,5) E(5,4,3,-10/4) T(5,3,4) E(5,1,4,-5/2) E(5,1,3,-1) E(5,2,4,-2) E(5,3,3,1/4)" hast du herausbekommen, indem du vorgehst, wie bei der Bestimmung des Inversen. Wovon genau hast du hier das Inverse bestimmt, um auf diese Werte zu kommen? Einfach die Matrix A ohne die Nullspalte oder wie?

Danke für die Hilfe!!

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Ajee, das kann ja nicht nachvollziehen (sieht irgendwie transponiert aus zu meinem Ergebnis)

Ich bekomme

https://www.geogebra.org/m/sdkjtz7n

Sowas per Hand zu rechnen grenzt an Körperverletzung ;-)...

Nochmal ich bestimme keine Inversen. Ich baue die Matrix A zu sowas wie einer Einheitsmatrix um. Andere Abfolge gleiches Ergebnis:

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Danke für das Video!! Ich habe es mal probiert und habe es hinbekommen. Allerdings habe ich andere Schritte gemacht um auf  \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0  \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0  \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0  \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

zu kommen... Das ist aber egal oder?

Und wie kann ich denn sonst per Hand ausrechnen was die Matrizen T und S sind?

Geht das nur mit GeoGebra oder der ausführliche Weg per Hand?

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Die Reihenfolge der Operationen kann unterschiedlich sein, klar.

Hauptsache sie führt zum Ziel. Ich wüsste nicht, wie man die Zerlegung auf anderem Weg hinbekommt. Es ist z.B. nicht unmittelbar klar, welche  Spalten die 0-Spalten werden.

Natürlich kann auch per Hand gerechnet werden, jedoch wird es jenseits der Dimension 3 schwierig die Fehlerrate auf 0 zu halten (jedenfalls nach meinen Erfahrungen) - ich lass immer gern ein CAS mitlaufen zur Kontrolle. Zumal z.B. GGB auch eine ggf. erforderliche grafische Aufbereitung mitliefert.