Question

Man konstruiere eine Basis für den von

v₁ = (1,-2,0,1)  v₂ = (0,0,2,5)  v₃ = (-2,4,2,3)

erzeugten Untervektorraum von ℝ⁴ und ergänze diese Basis dann zu einer Basis von ℝ⁴.

Lösung:

Da v₃ = -2 v₁ + v₂ , ist {v₁,v₂} eine Basis des Unterraums.

Sei x = \( \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d \end{pmatrix} \) Element des Unterraums. Dann gilt b + 2 * a = 0.

Also sind (1 0 0 0), ( 0 1 0 0)

mit den obigen Vektoren eine Basis für ℝ4

Frage: Ich habe diese Übungsaufgabe im Internet gefunden und habe versucht sie einmal selber nachzurechnen, ich verstehe aber nicht, wie man auf b+2a = 0 kommt und hierfür schlüsse auf die standardbasis ziehen kann, würde mich freuen falls mir das mal jemand erklären oder besser noch zeigen könnte. :)

Answer 1

v1 = (1,-2,0,1)  v2 = (0,0,2,5)  v3 = (-2,4,2,3)

Vereinfache nach Steinitz:

v1,v2,v3

v1,v2,v3-v2  also: (1,-2,0,1), (0,0,2,5), (2,-4,0,2)

den 3. durch 2 teilen:

(1,-2,0,1), (0,0,2,5), (1,-2,0,1)

Das Erzeugnis dieser 3 Vektoren ist dasselbe wie das Erzeugnis der ersten beiden, da der 3. nichts neues bringt.

Also ist v1,v2 eine Basis des Unterraums.

Ergänze die beiden durch e1,e2, weil sich e1 und e2 offensichtlich nicht aus v1 und v2 kombinieren lassen.

(1,-2,0,1), (0,0,2,5), (1,0,0,0),(0,1,0,0)  siehe *) unten!

Betrachte die Vektorgleichung a*v1 + b*v2 + c*w3 + d* w4 = 0^T

Man rechne nach:  a=b=c=d=0

Also sind v1,v2,e1,e2 l.u., also eine Basis von ℝ⁴.

Die Kombination eines allg Vektors x aus ℝ⁴ aus v1,v2,w3,w4 ist in der Aufg. eigentlich nicht verlangt, aber kein Problem:

x= a*v1 + b*v2 + c*e1 + d* e2

a*1 + c =x₁

-2a + d = x₂ 

2b=x₃ ⇒ b = x₃/2 einsetzen in die nächste Gleichnung und a ausrechnen

a+5b=x₄  a ausrechnen und in die erste und zweite Gleichung einsetzen, damit c,d ausrechnen!

Die Musterlösung ist etwas schnell?

Es geht auch einfacher ab *)

(1,-2,0,1), (0,0,2,5), (1,0,0,0),(0,1,0,0)     den ersten minus den 3. plus 2*den 4.:

(0,0,0,1), (0,0,2,5), (1,0,0,0),(0,1,0,0)     den 2. minus 5*den ersten, dann durch 2 teilen:

(0,0,0,1), (0,0,1,0), (1,0,0,0),(0,1,0,0)  ist ja die kanonische Basis, also l.u und Erzeugendensystem des ℝ⁴

Comments

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort Helmus! ;)

Ich freue mich sehr und habe alles so weit verstanden und nachvollziehen können nur eine kleine Frage habe ich noch, kann man es denn irgendwie sofort sehen, dass e1 und e2 genau diese Standardbasis annehmen und nicht zb. (0 0 1 0) und (0 0 0 1)?

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Aus (0 0 1 0) und (0 0 0 1) könnte man (0,0,2,5) gleich kombinieren.