Einheitsmatrix Beweis

Question

Aufgabe:

Wir betrachten Diagonalmatrizen A,B aus ℝ^nxn mit n>0 und schreiben diese als

\( A=\left(\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {0} & {\cdots} & {0} \\ {0} & {a_{2}} & {\ddots} & {\vdots} \\ {\vdots} & {\ddots} & {\ddots} & {0} \\ {0} & {\cdots} & {0} & {a_{n}}\end{array}\right) \quad \) und \( \quad B=\left(\begin{array}{cccc}{b_{1}} & {0} & {\cdots} & {0} \\ {0} & {b_{2}} & {\ddots} & {\vdots} \\ {\vdots} & {\ddots} & {\ddots} & {0} \\ {0} & {\cdots} & {0} & {b_{n}}\end{array}\right) \)

mit a_i, b_i aus ℝ für i = 1,...,n.

Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen für jede Matrix A aus R^nxn   äquivalent sind:

a) Die Matrix D ist ein reelles Vielfaches der Einheitsmatrix.

b) Für alle C aus ℝ^nxn gilt C*D = D*C. (Kommutativität).

Problem/Ansatz:

Ich komm einfach nicht drauf.... zu a) das macht doch eigentlich kein Sinn.... Angenommen D wäre {(1,1),(1,1)} dann gibt es doch eben KEIN k aus ℝ für das gilt: k * A = D, obwohl doch genau das zu zeigen gilt? (A Einheitsmatrix).

LG und VIELEN DANK für jede Antwort! <3

Comments

a) Die Matrix D ist ein reelles Vielfaches der Einheitsmatrix.

Was ist D?

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Deine Matrix mit nur Einsen ist keine Einheitsmatrix, Die Einheitsmatrix hat nur 1 auf den Diagonalen, sonst 0

Gruß lul

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Da passt einiges nicht ganz. In der Zeile mit "Zeigen Sie, dass ..." wird es wohl D und nicht A heißen müssen. Und alles, was davor steht, ist überflüssig. Die Äquivalenz der Aussagen a) und b) wurde schon mehrfach in diversen Foren (auch diesem, glaube ich) behandelt unter dem Thema "Matrix kommutiert mit allen anderen" oder ähnlich. Deine Beispielmatrix D kommutiert übrigens natürlich nicht mit allen anderen.

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@oswald @lul @mathehattu D ist eine beliebige Matrix ∈ ℝ^nxn

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D ist eine beliebige Matrix ∈ ℝ^nxn

wenn \(C\) und \(D\) beliebige Matrizen in \(\mathbb{R}^{n \times n}\) sind, was hat die Frage dann mit den Matrizen \(A\) und \(B\) zu tun?

Im übrigen sind in diesem Fall die Aussagen unter a) und b) schlicht falsch.

Answer 1

Übliche Vorgehensweise bei äquivalenten Aussagen: Zeige in zwei Schritten erst a) ⇒ b) und dann umgekehrt. Der erste Schritt ist hier einfach. Gehe davon aus, dass es eine reelle Zahl k gibt mit D=k*E , dann ergibt sich mit den Rechenregeln für Matrizen sofort das Gewünschte. Umgekehrt darf man die Gleichung C*D = D*C für beliebige Matrizen C annehmen. Speziell für Matrizen, die besonders einfach zu handhaben sind: nur eine einzige 1 und ansonsten nur Nullen als Einträge. Überleg dir mal, was man erhält, wenn man eine solche Matrix einmal von links und einmal von rechts mit einer beliebigen Matrix multipliziert. Vielleicht machst du das zum Verständnis mal für ein einfaches Beispiel mit 2x2- oder 3x3-Matrizen. Laut Vorgabe sollen die Ergebnisse gleich sein, daher kann man die an gleichen Positionen stehenden Elemente vergleichen. So kannst du schließen, dass die außerhalb der Hauptdiagonalen stehenden Zahlen in der Matrix D genau 0 sein müssen und die auf der Diagonalen alle gleich. Und das ist genau zu zeigen.