Aufgabe:
$$ p \in \left[0, 1\right] $$$$X_1, . . . , X_n $$ reelle Zufallsvariablen über demselben Wahrscheinlichkeitsraum, jeweils bernoulli verteilt$$X:= \sum \limits_{i=1}^{n}iX_i$$
Zu zeigen: $$E(X)=p * \frac{n*(n+1)}{2}$$
Problem/Ansatz:
Da bernoulli verteilt ist $$\Omega = \{0,1\} $$ wobei 1 = Erfolg, 0 = Fehlschlag.
$$E(X)= \sum \limits_{\omega\in\Omega}X(w)P(\{\omega\}) = \sum \limits_{\omega\in\Omega}(\sum \limits_{i=1}^{n}iX_i(w))P(\{\omega\}) = P(\{0\}) \sum \limits_{i=1}^{n}iX_i(0) + P(\{1\}) \sum \limits_{i=1}^{n}iX_i(1) = p(0) \sum \limits_{i=1}^{n}iX_i(0) + p(1) \sum \limits_{i=1}^{n}iX_i(1) = (1-p) \sum \limits_{i=1}^{n}iX_i(0) + p \sum \limits_{i=1}^{n}iX_i(1)$$
Wäre jetzt Xi(0) = 0 und Xi(1) = 1, wäre ich so gut wie fertig, aber ich sehe keinen Grund warum dies der Fall sein sollte.
Würde mich über einen Tipp freuen bzw. wo mein Fehler liegt, lösen würde ich es gerne selbst.
