Zeigen Sie, dass die drei Vektoren b1:=(0 1 2), b2:=(2 0 2), b3:=(−3 0 1) eine Basis des R hoch 3 bilden

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die drei Vektoren b1:=(0 1 2), b2:=(2 0 2), b3:=(−3 0 1) eine Basis des R hoch 3 bilden. Wir bezeichnen diese mit B.

Problem/Ansatz:

Welchen Weg kann man einschlagen um die Aufgabe zu lösen?

Answer 1

Wenn die Determinante aus den drei Vektoren ungleich Null ist, sind die Vektoren linear unabhängig. Drei linear unabhängige Vektoren bilden eine Basis des \(\mathbb R^3\).

0	2	-3
1	0	0
2	2	1

Mit Sarrus'scher Regel:

D=0·0·1+2·0·2+(-3)·1·2-2·0·(-3)-2·0·0-1·1·2=0+0-6-0-0-2=-8≠0

Die Vektoren sin linear unabhängig und bilden eine Basis des \(\mathbb R^3\).

Comments

Wie würde das ausgerechnet aussehen?

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Darfst du denn mit Determinanten arbeiten?

Sonst musst du untersuchen, ob die Bedingung für lineare Abhängigkeit erfüllt ist.

Zeig doch erst einmal, wie du es selbst lösen würdest.

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@MontyPython, hallo, da ich gerade selber bissl für das Thema lerne und übe, dachte ich mische mich mal ein und vll ist ja meine Vorgehensweise auch richtig. :)

Ich würde den NullVektor , jeweils als Linearkombination der Vektoren b1,b2 und b3 darstellen: xb1+yb2+zb3=0, hieraus würde ich ein lineares Gleichungsystem erstellen und anschließend mit dem Gaußverfahren für x=y=z=0 erhalten und somit die lineare unabhängigket bewiesen bekommen? Sprich b1,b2 und b3 bilden eine Basis?

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@2345

x=y=z=0 ist ja immer eine Lösung.

Wenn x=y=z=0 die einzige Lösung ist, hast du Recht.

Möglich wäre auch zu gucken, ob zwei Vektoren linear unabhängig sind und dann den dritten als Linearkombination der beiden zu beschreiben.