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Aufgabe: Gegeben sei B=( 1, x², (x-2)(x-1))


Zeige dass B eine Basis des Vektorraums R[x] = { a2x² + a1x + a0 : a0, a1, a∈ R}


Problem/Ansatz:

Ich muss ja zeigen, dass die Vektoren der Basis linear unabhängig sind.

Also δ1 • 1 + δ2 • x² + δ3 •(x-2)(x-1) =0

Nur hier hab ich mein Problem: Wie geht es weiter?

Wenn ich für a0, a1, a2= 1 setze, muss ich ja zeigen, dass ich mit den Basisvektoren x² + x + 1 erzeugen kann ..

Kann ich die δ dann beliebig wählen, so das es "passt"? Oder gibt es da ein strategischeres Vorgehen?

Bei Teilaufgabe b soll ich x² + x + 1 in dieser Basis darstellen. Wie gehe ich hier vor?

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Danke für deine Hilfe,

Allerdings haben wir (noch) keine Determinanten eingeführt.

Gibt es einen anderen Weg, um die Aufgabe zu lösen?

2 Antworten

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Aloha :)

In der Standardbasis \(S=(1,x,x^2))\) hat ein Polynom 2-ter Ordnung die Form:

$$a_0\cdot1+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a_0\\a_1\\a_2\end{array}\right)$$

In der Basis \(B=(1,x^2,2-3x+x^2)\) hat ein Polynom 2-ter Ordnung die Form:$$b_0\cdot1+b_1\cdot x^2+b_2\cdot(2-3x+x^2)=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 2\\0 & 0 & -3\\0 & 1 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}b_0\\b_1\\b_2\end{array}\right)$$

Wenn \(B\) tatsächlich eine andere Basis für die Polynome 2-ter Ordnung ist, müssen wir die \(b\)-Komponenten durch die \(a\)-Komponenten ausdrücken können. Da der Wert des Polynoms in beiden Basen derselbe sein muss, gilt:

$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 2\\0 & 0 & -3\\0 & 1 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}b_0\\b_1\\b_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a_0\\a_1\\a_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a_0\\a_1\\a_2\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}b_0\\b_1\\b_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 2\\0 & 0 & -3\\0 & 1 & 1\end{array}\right)^{-1}\cdot\left(\begin{array}{c}a_0\\a_1\\a_2\end{array}\right)$$Wenn diese inverse Matrix existiert, sind die Basisvektoren von \(B\) linear unabhängig, weil die Determinante dann \(\ne0\) ist, und tatsächlch gilt:$$\left(\begin{array}{c}b_0\\b_1\\b_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & \frac{2}{3} & 0\\0 & \frac{1}{3} & 1\\0 & -\frac{1}{3} & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a_0\\a_1\\a_2\end{array}\right)$$

In Teil (b) soll das an \((1+x+x^2)=(1,1,1)^T\) überprüft werden:

$$\left(\begin{array}{c}1 & \frac{2}{3} & 0\\0 & \frac{1}{3} & 1\\0 & -\frac{1}{3} & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{5}{3}\\\frac{4}{3}\\-\frac{1}{3}\end{array}\right)$$Das heißt:$$1+x+x^2=\frac{5}{3}\cdot1+\frac{4}{3}\cdot x^2-\frac{1}{3}\left(2-3x+x^2\right)$$

Avatar von 152 k 🚀
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Hallo,

zeige, dass das Gleichungssystem

$$ a_2x² + a_1x + a_0  = \alpha *1 + \beta x^2 +\gamma (x-2)(x-1) $$

für alle $$a_i$$ eine Lösung in alpha, beta, gamma besitzt.

Tipp: sortiere die rechte Seite nach den Potenzen x^0, x^1 , x^2 und führe einen Koeffizientenvergleich durch.

Avatar von 37 k

Super, dass verstehe ich. Und in Teilaufgabe 2 soll ich einfach die ermittelten Koeffizienten in das Polynom einsetzen?

Bei b) hast du konkrete a_i gegeben, die kannst du dann einfach in die Lösung von Teilaufgabe a) einsetzen, da bekommst du ja Formeln für alpha, beta und gamma in Abhängigkeit von a_i.

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