Grenzverhalten von Funktionen

Question

Ich soll das Grenzverhalten der Funktion f für x→x₀ zeigen und falls \( \lim\limits_{x\to\ x0} \)  existiert, diesen Grenzwert angeben.

a) f: ℝ\{0} → ℝ,   x ↦ \( \frac{exp(x)-1}{x} \)  für x₀=0

b) f: [-1,1]\{0} → ℝ,   x ↦ \( \frac{1-\sqrt{1-x²}}{x²} \) für x₀=0

Leider weiß ich gar nicht so wirklich, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll.

Also man muss ja durch Termumformungen und irgendwelche "Tricks" soweit kommen, dass man die Stelle x₀ einfach einsetzen kann und so dann den Grenzwert berechnen kann (oder?).

Aber leider weiß ich nicht wie man diese Umformungen machen kann und auch nicht, woran man erkennt, dass man den Wert nun einsetzen kann.

Ich hab mich auch gefragt, warum man ihn nicht einfach direkt einsetzen kann - liegt das nur daran dass man sonst durch 0 teilen würde?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

Liebe Grüße

Clementine

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...hat vielleicht sonst noch jemand einen Tipp für mich für Aufgabe b)?

Mit dem Tipp den ich bereits bekommen habe, komme ich leider einfach nicht weiter...

LG

Clementine

Answer 1

Hallo,

Du hast in beiden Fällen 0/0. Du kannst L'Hospital anwenden.(falls behandelt und Du es laut Aufgabe darfst)

Leite den Zähler und Nenner getrennt ab.

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Erstmal danke für deine Antwort!

Aber ich glaube leider nicht dass wir das anwenden dürfen... unser Thema im Moment ist Stetigkeit. Differenzierbarkeit und Ableitungen hatten wir noch nicht.

Hast du vielleicht noch eine andere idee?

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Hallo,

zu 2) Multipliziere Zähler und Nenner mit

(√(1 -x^2) +1)/(√(1 -x^2) +1)

Lösung a:  1

Lösung b:  1/2

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Ich hab das jetzt mal bei der b) versucht, komme da aber nicht wirklich weiter...

Da steht dann bei mir  (x²)/(x²·√(1-x²)+x²)

Aber was bringt mir das dann ? Und wie kommst du davon jetzt auf 1/2?

Oder habe ich mich verrechnet oder so?

Und bei der a) kann man diesen Weg ja nicht anwenden, oder?

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Aber was bringt mir das dann ? Und wie kommst du davon jetzt auf 1/2?

Wenn Du das machst , kommst Du auf:

1/√(1-x^2) +1 =1/2

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Okay danke... das klingt logisch... vielleicht bin ich auch gerade ein bisschen zu blöd, aber kannst du mir vielleicht nochmal genauer/ mit Zwischenschritten erklären, wie du auf diesen Term 1/√(1-x2) +1 kommst? Ich habe versucht den Zähler und den Nenner mit dem Ausdruck zu multiplizieren den du mir genannt hast, komme aber irgendwie nicht auf das gleiche Ergebnis wie du. Weiß nicht, an welcher Stelle ich was falsch gemacht habe...

Wäre echt nett

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Hast du den Term  (x2)/(x2·√(1-x2)+x2) (also das was ich raus hatte nachdem ich den Bruch multipliziert habe) Abgeleitet oder wie bist du dann auf 1/√(1-x2) +1  gekommen? Oder war meine Rechnung komplett falsch

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Hallo,

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Dankeschön!!!

Also einfach nur den Bruch kürzen... da hatte ich echt ein Brett vorm Kopf. Vielen Dank!

Answer 2

Hallo,

zu a) verwende die Reihendarstellung der Exponentialfunktion.

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Danke für deine Antwort.

Also ich weiß was die Exponentialreihe ist, aber wie soll ich sie in dieser Funktion verwenden/ was soll ich damit machen? Steht dann die ganze Reihe mit dem Summenzeichen usw über dem Bruchstrich oder wie soll ich mir das vorstellen?

Werde daraus leider noch nicht ganz schlau.

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Exp(x) 1+x+x^2/2 +x^3 /6 +...

exp(x)-1= x+x^2/2 + x^3/6 +...

(exp(x)-1)/x = 1+x/2 +x^2/6 +...

Da die Reihe konvergiert, darfst du den Grenzwert unter die Summe ziehen:

lim x--->0 1+x/2 +x^2/6 +...

=1+ 0+0+0...

=1

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Dankeschön das hat mir total geholfen!!

Also die a) habe ich jetzt verstanden und hoffentlich richtig, haha.

Falls mir noch jemand bei der b) helfen kann, immer gerne ;-)

Answer 3

Arme Clementine, ich meine dies wirklich.

Was sollst du/ihr für Klimmzüge zur Beantwortung dieser
Frage machen.

lim x -> 0 [ ( e^x - 1 ) / x ) ] = 0 / 0
Ein Fall für L´Hospital
( e^x - 1 ) ´= e^x
( x ) ´ = 1

lim x -> 0 [ e^x / 1 ] = 1 / 1 = 1

Ich wäre interessiert zu erfahren wie die Aufgabe
in der Schule besprochen wurde.

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Ich habe die Aufgabe aus der Uni, also nichts mit schule ;-)

Ich weiß wie gesagt auch nicht was wir da machen sollen oder wie wir da herangehen sollen.