Kern und Bild von Matrix

Question

Aufgabe:

Sei $$ A=\left(\begin{array}{lll} {1} & {2} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {1} & {0} & {1} \end{array}\right) $$

a) Ist \( A \) invertierbar? Falls ja, bestimmen Sie die zu \( A \) inverse Matrix \( A^{-1} \).

b) Liegt der Vektor \( \left(\begin{array}{r}{-2} \\ {1} \\ {2}\end{array}\right) \) im Kern von \( A ? \)

c) Für welche \( \alpha \in \mathbb{R} \) liegt der Vektor \( \left(\begin{array}{l}{\alpha} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right) \) im Bild von \( A ? \)

Ich sitze an den Aufgaben b) und c). Meine Vermutung für Aufgabenteil b ist, dass ich x1, x2, x3 in meine Matrix einsetzen soll und falls dort der Nullvektor rauskommt, dann liegt der Vektor im Kern von A. Macht meine Vermutung Sinn?Bei Aufgabenteil (c) weiß ich dass ich beispielsweise mithilfe des Gleichungssystems eine Lösungsmenge für alpha ausrechnen soll, mir fehlt jedoch jede Idee wie ich das anstellen könnte.

Ich bin sehr dankbar für jede Hilfe und freue mich wenn ich das Vorgehen zur Lösung der Aufgaben verstehe.

Answer 1

b) Der Vektor liegt im Kern von A, wenn sich durch Multiplizieren von A mit diesem Vektor der Nullvektor ergibt, sprich A * v = \(\vec{0}\).

Comments

Hey vielen Dank für die schnelle Antwort, dann liegt der Vektor tatsächlich nicht im Kern von A.

Hättest du noch eine Idee wie ich bei (c) vorgehen könnte?

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Wenn die Gleichung \(A \cdot \vec{x} = \begin{pmatrix}\alpha\\1\\1\end{pmatrix}\), wobei x drei Komponenten hat, mind. eine Lösung besitzt, so liegt dein Vektor im Bild von A (Definition).

Am besten mal im Netz schauen, dort gibt es einige Wege, wie man z.B. das Bild berechnet.

Answer 2

Die inverse Matrix hast du ja herausbekommen. Allein aus der Tatsache, dass sie existiert, kannst du schließen, dass der Kern der Matrix nur aus dem Nullvektor besteht. Jede Gleichung der Form A*x=b hat genau eine Lösung, und zwar x = A^-1*b. Außerdem besagt dies, dass jeder Vektor in der Bildmenge liegt. Du brauchst also bei c) auch nichts zu rechnen, die Antwort lautet " für alle α".