Ich sitze gerade an meiner Hausübung, aber komme nicht weiter. Vielleicht könnt ihr einen Blick darauf werfen:
Ein sehr einfaches Modell für Zellwachstum ist durch die Fisher Gleichung
$$ \partial_{t} \rho-k\left(\partial_{x x} \rho+\partial_{y y} \rho\right)=c \rho(1-\rho) $$
mit \( k>0, c>0 \) gegeben. Seien die Zellen anfänglich innerhalb eines Kreises mit Radius \( R_{0} \) konzentriert:
$$ \rho(t=0)=\left\{\begin{array}{ll} {1,} & {\sqrt{x^{2}+y^{2}}<R_{0}} \\ {0,} & {\sqrt{x^{2}+y^{2}} \geq R_{0}} \end{array}\right. $$
dann ist eine (grobe) Näherung für die Lösung:
$$ \rho(t) \approx\left\{\begin{array}{ll} {1,} & {\sqrt{x^{2}+y^{2}}<R(t)} \\ {0,} & {\sqrt{x^{2}+y^{2}} \geq R(t)} \end{array}\right. $$
Dabei ist der Frontradius \( R(t) \) in Abhängigkeit von der Zeit \( t \) die Lösung der Differentialgleichung
$$ \dot{R}=w-\frac{k}{R} $$
mit \( w=2 \sqrt{k c} \)
a) Klassifizieren Sie die Fisher Gleichung (7.1) und die Differentialgleichung (7.2) für den Frontradius jeweils in den Kategorien: partiell/gewöhnlich, linear/nichtlinear, autonom/zeitabhängig, Ordnung, skalar/system.
b) Geben Sie eine Formel für die Zeit in Abhängigkeit des Radius \( t(R) \) an. Wenden Sie dafür Trennung der Veränderlichen auf Gleichung ( 7.2) an.
Hinweis 7.1: Sie müssen die Formel in Aufgabenteil b) nicht nach \( R \) auflösen.
Hinweis 7.2: Benutzen Sie in Teil b) \( \frac{R}{w R-k}=\frac{1}{w}+\frac{k}{w} \frac{1}{w R-k} \).
Ansatz:
Für a) habe ich partiel, linear, autonom, 2. Ordnung, skalar für Fisher gewöhnlich, 1. Ordnung für die DFG.
Bei der b) komme ich nicht weiter.
