Integral mit Ober- und Untersumme bestimmen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie mithilfe von Ober- und Untersummen das Integral

\( \int\limits_{0}^{1} \) x dx

Vielen dank im Voraus !

Answer 1

Teile das Intervall in n gleich große Teile.

$$U_n=\frac{1}{n}\cdot(0\cdot\frac{1}{n}+1\cdot\frac{1}{n}+2\cdot\frac{1}{n}+\ldots (n-1)\frac{1}{n})$$

$$U_n=\frac{1}{n^2}\cdot(1+2+\ldots (n-1))$$

$$U_n=\frac{1}{n^2}\cdot\frac{(n-1)\cdot n}{2}$$

$$U_n=\frac{1}{n^2}\cdot\left(\frac{n^2}{2}-\frac{n}{2}\right)$$

$$U_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}$$
Für \(n\rightarrow\infty\) strebt die Untersumme gegen \(U=\frac{1}{2}\)

$$O_n=\frac{1}{n}\cdot(1\cdot\frac{1}{n}+2\cdot\frac{1}{n}+\ldots n\frac{1}{n})$$
$$O_n=\frac{1}{n^2}\cdot(1+2+\ldots n)$$

$$O_n=\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n\cdot (n+1)}{2}$$

$$O_n=\frac{1}{n^2}\cdot\left(\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}\right)$$
$$O_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}$$

Für \(n\rightarrow\infty\) strebt die Obersumme gegen \(O=\frac{1}{2}\)

Die Abbildung zeigt \(O_4\):

https://www.desmos.com/calculator/co2rbymayp

Comments

Das hatten wir nicht. Was bedeutet usw? Ich versteh die Rechnung nicht, wie erhält man das Ergebnis?

---

Dann schreib mal, was ihr hattet. Ist vorgegeben, in wie viele Teile das Intervall unterteilt werden soll? Vielleicht 2, dann 4, dann 8 Teile?

---

die Aufgabe ist genau gestellt, wie ich sie reingeschrieben habe. keine Anzahl von Teilen vorgegeben, genau deswegen weiß ich nicht, wie ich das Ganze angehen soll.

---

Habt ihr denn schon Ober-und Untersumme durchgenommen? Wenn du nicht weißt, was das ist, ist es schwierig dir zu helfen.

Ich vermute, dass du in der 11. oder 12. Klasse bist. Da muss doch euer Lehrer gesagt haben, wie ihr die Aufgabe lösen sollt.

---

ich weiß was das ist. wie schreibt man das Ganze bloß auf ist meine frage, um zum ergebnis zu kommen ?

---

In meiner Antwort habe ich n Unterteilungen vorgenommen. Du hast geschrieben, dass ihr das nicht hattet. Nun schreib doch einmal, was du schon weißt, damit ich dir sinnvoll antworten kann.