Wachstumsgeschwindigkeit einer Pflanze nach 10 Tagen? usw.

Question

Aufgabe:

Im Folgenden wird die Funktion f mit f(t)= 1/4t^3 - 3t^2 +9t  0<t<6 betrachtet, welche die Wachstumsgeschwindigkeit einer anderen Pflanze modelliert. Dabei gibt t wieder die Zeit seit Beobachtungsbeginn in Wochen an und f(t)die Wachstums geschwindigkeit in cmWoche.

b) Bestimmen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit nach 10 Tagen
Lösung (?) : 10:7= ~1,4 = ~1,95 cm in 10 Tagen.

c) Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die Wachstumsgeschwindigkeit bei 6 cm/Woche liegt

d) Berechnen Sie  m= \( \frac{f(1) - f(0)}{1-0} \) und interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang.

e) Bestimmen Sie unter Verwendung eines rechnerischen Ansatzes das lokale Maximum von
f und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

f) Bestimmen sie sowohl die maximale Zunahme, als auch die maximale Abnahme der Wachstumsgeschwindigkeit im Beobachtungszeitraum.

g) Bestimmen sie das Wachstum der Pflanze im Beobachtungszeitraum.

Problem/Ansatz:

Moin

Ich bin einfach zu dumm. Wer auch immer mir hilft danke danke danke im Voraus...

Answer 1

f ( t ) = 1/4*t^3 - 3*t^2 + 9*t 
für 0 < t < 6
t in Wochen
Funktionswert in cm / Woche
b.)
nach 10 Tagen = 1  3/7 Wochen = 1.4286
f ( t ) = 1/4*t^3 - 3*t^2 + 9*t 
f ( 1.4286 ) = 1/4 * 1.4286 ^3 - 3 *1.4286 ^2 + 9 * 1.4286
7.46 cm / Woche

c) Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die Wachstumsgeschwindigkeit bei 6 cm/Woche liegt

Die Frage ist meiner Meinung nach falsch gestellt
Sondern
Bestimmen Sie den Zeitpunkt, in dem die Wachstumsgeschwindigkeit bei 6 cm/Woche liegt

f ( t ) = 1/4*t^3 - 3*t^2 + 9*t  = 6

Die Lösung kann algebraisch nicht gefunden werden

Grafik

 Newton Näherungsverfahren
t = 0.94 Wochen
t = 3.31 Wochen

An diesen Zeitpunkten ist die Wachstumgeschwindigkeit
6 cm/Woche

Comments

Vielen Dank für die rasche Antwort. Mir ist wohl aufgefallen das ich mich verschrieben habe. In der Aufgabe steht : einen Zeitraum in dem die Wachstumsgeschwindigkeit über 6cm/Woche liegt (sorry!)

LG

Fajna

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Macht nichts.
Der Zeitraum dürfte klar sein
alles oberhalb der roten Linie
3.31 minus 0.94
Hättest du die beiden Werte über Newton
oder einen GTR - Rechner herausbekommen ?

d.) Berechnen Sie  m= f(1)−f(0)1−0 und interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang.
m= f(1)−f(0)1−0
hier fehlen die Klammern und der Bruchstrich
m= [ f(1)−f(0)] / [1−0 ]

m = 6.25 / 1 = 6.25 ( cm / Woche ) / Woche

Die Wachstumsgeschwindigkeit hat sich in
der Woche um 6.25 cm / Woche erhöht.

e) Bestimmen Sie unter Verwendung eines rechnerischen Ansatzes das lokale Maximum von
f und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
1.Ableitung = 0
f ( t ) = 1/4*t^3 - 3*t^2 + 9*t  = 6
f ´( t ) f= 3/4*t^2 - 6*t + 9
Stellen mit waagerechter Tangente
3/4*t^2 - 6*t + 9 = 0
f ´( t ) f= 3/4*t^2 - 6*t + 9

t1 = 2 ( höchste Wachstumsgeschwindigkeit )
f ( 2 ) = 8 cm / Woche
Maximum ( 2 | 8 )

t2 = 6 ( Tiefpunkt )

Falls du hierzu Fragen hast dann nachfragen.
Ansonsten sag wanns weiter gehen soll.

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Jo alles verstanden - kann weiter gehen!

Dankeeeee :)

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f) Bestimmen sie sowohl die maximale Zunahme, als auch die maximale Abnahme der Wachstumsgeschwindigkeit im Beobachtungszeitraum.
Frage nach dem Wendepunkt
f´´( t ) = 3/2 * t - 6
3/2 * t - 6 = 0
t = 4 ( stärkster Abfall, siehe Skizze )
Den stärksten Anstieg hat die Funktion im
Punkt ( 0 | 0 )
Zu sehen wäre dies in der Skizze der 1.Ableitung

g) Bestimmen sie das Wachstum der Pflanze im Beobachtungszeitraum.
f ( t ) = 1/4*t3 - 3*t2 + 9*t
Fläche unterhalb der Kurve
∫ f  dt zwischen 0 und 6
Stammfunktion
S ( x ) = 1/4 * t^4 / 4 - 3 * t^3 / 3 + 9 * t^2 / 2
[ S ] zwischen 0 und 6
1/4 * 6^4 / 4 - 3 * 6^3 / 3 + 9 * 6^2  / 2 minus
1/4 * 0^4 / 4 - 3 * 0^3 / 3 + 9 * 0^2

27 cm