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Untersuchung der Reihe \(\sum_{k=1}^{n} \frac{k^s}{k!}\) auf Konvergenz
Um die Konvergenz der Reihe \(\sum_{k=1}^{n} \frac{k^s}{k!}\) zu untersuchen, betrachten wir den Fall, in dem \(n\) gegen unendlich geht. Das bedeutet, dass wir die unendliche Reihe
\( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^s}{k!} \)
untersuchen wollen. Wir nehmen an, dass \(s\) eine beliebige rationale Zahl ist.
Schritt 1: Anwendung des Wurzelkriteriums oder Quotientenkriteriums
Für Reihen der Form \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) kann das Quotientenkriterium besonders hilfreich sein, wobei \(a_k = \frac{k^s}{k!}\).
Das Quotientenkriterium lautet:
\( \lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = L \)
Falls \(L < 1\), konvergiert die Reihe absolut.
Berechnen wir zunächst
\( \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{\frac{(k+1)^s}{(k+1)!}}{\frac{k^s}{k!}} \)
Vereinfachen wir den Ausdruck:
\( \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{(k+1)^s}{(k+1)!} \cdot \frac{k!}{k^s} = \frac{(k+1)^s}{(k+1) \cdot k^s} = \frac{(k+1)^s}{(k+1) \cdot k^s} = \frac{(k+1)^s}{k \cdot k^s} = \frac{(k+1)^s}{k^{s+1}} \)
Schritt 2: Grenzwert für \( \lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right|
Nun berechnen wir den Grenzwert als \(k\) gegen \(\infty\):
\( \lim_{k \to \infty} \frac{(k+1)^s}{k^{s+1}} \)
Da \((k+1)^s\) asymptotisch ähnlich wie \(k^s\) für große \(k\) ist, realisieren wir:
\( \frac{(k+1)^s}{k^{s+1}} \approx \frac{k^s}{k^{s+1}} = \frac{1}{k} \)
Der Grenzwert des Ausdrucks \( \frac{1}{k} \) gegen \(\infty\) ist null:
\( \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} = 0 \)
Da dieser Grenzwert kleiner als 1 ist, besagt das Quotientenkriterium, dass die Reihe absolut konvergiert.
Fazit
Die unendliche Reihe
\( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^s}{k!} \)
konvergiert für jedes rationale \(s\).
