rationale Zahlen und Dezimalzahlen

Question

Aufgabe:

a) Die rationale Zahl x ist als Dezimalzahl abbrechend mit genau 4 Nachkommastellen. Aus welcher Menge kommt der Nenner der vollständig gekürzten Zahl x?

und

b) Die rationale Zahl x ist als Dezimalzahl gemischt-periodisch mit 1 vorperiodischen Nachkommastelle und einer Periode der Periodenlänge 2. Aus welcher Menge kommt der Nenner der vollständig gekürzten Zahl x?

Problem/Ansatz:

Ich weiss leider gar nicht wie so etwas angehen. Zudem verstehe ich nicht genau, was mit der Menge gemeint ist.

a) \( \frac{a}{10000} \) = Was genau muss ich mit dieser Division von 10000 anfangen? Das wäre ja quasi eine andere Darstellung für eine endliche Dezimalzahl mit 4 Nachkommastellen.

Danke um die Hilfe.

Comments

Wie habt ihr denn "rationale Zahl" genau definiert?

Sind negative Zähler und oder Nenner erlaubt?

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@Lu Danke für die Antwort. Wir haben rationale Zahlen ziemlich Basic definiert. Sobald mit zwei Zahlen ein Bruch dargestellt werden kann, ist sie eine rationale Zahl: also das Verhältnis zweier Zahlen.

Ich denke in diesem Beispiel sind keine negative Zahlen erlaubt.

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@Restartbrain: Das war ein Kommentar (keine Antwort). Auf eine Antwort musst du noch warten.

Wir haben rationale Zahlen ziemlich Basic definiert. Sobald mit zwei Zahlen ein Bruch dargestellt werden kann, ist sie eine rationale Zahl: also das Verhältnis zweier Zahlen.

Ich denke in diesem Beispiel sind keine negative Zahlen erlaubt.

Also oben und unten eine natürliche Zahl (?). Welche von beiden ist grösser oder ist alles erlaubt?

Nun zu den Dezimalzahlen: Welche (natürlichen) Zahlen sind vor dem Komma erlaubt?

Überhaupt: Wenn du dir die Definition "denken" musst, ist das keine allzu seriöse Fragestellung. (Vermutlich nicht dein Fehler). 

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Entscheidend müssten doch die Nachkommastellen sein. Der ganzzahlige Anteil hat auf den Nenner keinen Einfluss.

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@MP: Vgl. meine (und deine) Antwort. Anscheinend ist nicht einmal den Begriff "Menge" geläufig.

Answer 1

Zu a)

Das müssten Teiler von 10000 sein, die größer als 1000 sind.

0,0001=1/10000

0,0002=1/5000

usw,

zu b)

Beispiel: \(0,3\overline{74}=\dfrac{374-3}{990}\)

Im Nenner steht immer 990. Wenn der Bruch gekürzt werden kann, bleibt im Nenner ein Teiler von 990.

Einige müssen aber ausgeschlossen werden, z.B. 2; 3; 5; 6; ... ; 99

Comments

danke für die Hilfe, könntest du mir erklären, wieso einige ausgeschlossen werden müssen bei b)?

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Z.B. 2 im Nenner ist ja 1/2=0,5.

Es müssen also die Nenner ausgeschlossen werden, bei denen die Brüche abbrechen, also 2, 5 und 10.

Außerdem die ohne vorperiodischen Anteil, also 3, 9, 11, 33, 99 (eventuell ein paar mehr).

Dann die, deren Periodenlänge 1 ist, z.B. 1/6.

Ich vermute, dass alle Teiler von 990 von 1 bis 99 ausgeschlossen werden müssen.

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Danke vielmals für die Antwort.

Es gibt einige Teiler zwischen 1 und 99, zb 22. Aber jetzt habe ich trotzdem verstanden, weshalb einige ausgeschlossen werden!

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Oh ja, 22stel erfüllen die Vorgaben.

\(\frac{1}{22}=0.0\overline{45}\)

Ich vermute, dass als Nenner die Teiler von 90 und von 99 ausgeschlossen werden müssen.

Answer 2

Aus welcher Menge kommt der Nenner der vollständig gekürzten Zahl x?

0.1234 = 1234 / 10000

Hier kann man noch kürzen und unten bleibt ein Teiler von 10000.

Wenn aber im Zähler eine Primzahl steht, kann man nicht kürzen.

D.h. z.B. bei 2.0003 = 20003 / 10000 .

Nun mal eine Behauptung: Die Menge besteht aus Teilern von 10000. Welche genau ?

Comments

ich glaube das geht sogar in diese Richtung! Wären es dann Primteiler von 10000? also 2⁴ * 5⁴ . Ist das mit "Menge" gemeint?

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Aus welcher Menge M kommt der Nenner der vollständig gekürzten Zahl x?

Menge M ist mathematisch gemeint: Du kannst sie z.B. aufzählend angeben. Also so:

M = {10000, 2000, 5000, und vielleicht noch ein paar Teiler von 10000 mehr}

Aber z.B. nicht 2^1 oder 2^2.

Grund 9/2 = 4.5 hat nur eine Nachkommastelle ungleich Null.

33/4 = 8.25 hat nur zwei Nachkommastellen ungleich Null.

33/40 =0.825 hat nur drei Nachkommastellen ungleich Null.

Answer 3

zu b)

Wenn x die Form \(x=0,a\overline{bc}\) hat, dann gilt  \(100x=ab,c\overline{bc}\) (Verschiebung des Kommas um zwei Stellen).

Subtrahiert man beide Werte voneinander, erhält man 99x=..., und auf der rechten Seite subtrahieren sich die periodischen Anteile weg. 99x ist also eine Zahl mit nur einer Nachkommastelle (und 990x ist demzufolge ganzzahlig). Damit ist x selbst ein Bruch mit dem Nenner 990 (der eventuell durch Kürzen kleiner werden kann).