Ideal zweier Polynome unter dem Körper F2

Question

Aufgabe:

Seien \( f=X^{5}+X^{4}+X^{2}+1 \) und \( g=X^{5}+X^{3}+X^{2}+1 \in \mathbb{F}_{2}[X] \) zwei Polynome und \( I=(f, g) \subseteq \mathbb{F}_{2}[X] \) das davon erzeugte Ideal.

(a) Berechnen Sie ein Polynom \( d \in \mathbb{F}_{2}[X] \) mit \( I=(d) \)

Answer 1

Mit Hilfe des euklidischen Algorithmus bekommt man

\(X+1=X^3\cdot f+(X^3+X^2+X+1)\cdot g\),

also \(ggT=d=X+1\), folglich \((f,g)=(X+1)\)