Aufgabe:
Aufträge unterschiedlicher Größe werden bearbeitet; dabei hängt die Bearbeitungszeit von der Größe des Auftrags ab. Die Größe eines Auftrags ist zufällig; es handelt sich dabei um eine zufällige Veränderliche X, deren Werte gleichverteilt im Interval [1,5] liegen und die damit die Dichte \(f_x(x) = 1/4\) für x e [1,5] und \(f_x(x) = 0\) für sonst besitzt.
DIe Bearbeitungsdauer eines Auftrages ist eine exponentialverteilte Zufällige Veränderliche Y, deren Parameter \(\lambda\) von der Größe X des bearbeiten Auftrages abhängt: \(\lambda = 10 - X\)
a) Berechnen Sie P(Y < 1/5)
b) Berechnen Sie E(Y)
Problem/Ansatz:
Ich bin mir nicht Sicher ob ich Richtig vorgehe, ob die Sachen die ich mache überhaupt "erlaubt" sind. Meine Frage ist daher wo mein Fehler liegt. Ich kann mir nicht vorstellen das mein Vorgehen (gerade die Fallunterscheidung bei Lambda) erlaubt ist. Und Wahrscheinlich muss man irgendwas mit Bedignten Wahrscheinlichkeiten machen, ich weiß aber nicht wo ich wie anfangen soll / was falsch ist..
\(f_x(x) = \left\{\begin{matrix}\frac{1}{4} & x \in [1,5] \\ 0 & sonst \end{matrix}\right.\)
a) Zunächst würde ich \(\lambda\) ausrechnen. \(\lambda = 10 - X\)
\(\lambda = \left\{\begin{matrix}10 - \frac{1}{4} = \frac{39}{4}, & x \in [1,5]\\ 10 - 0 = 10, & sonst \end{matrix}\right.\)
Hier bin ich mir schon nicht sicher ob dieser Schritt überhaupt so gemacht werden soll..
Falls ja wäre \(\lambda = \frac{39}{4}\) im Fall von \P(Y < x) = (P(Y < 1/5)\)
\(P(Y < x) = P(Y \leq x) = 1 - e^{-\lambda \cdot x} \)
\(P(Y \leq \frac{1}{5}) = 1 - e^{-\lambda \cdot \frac{1}{5}} = 1 - e^{- \frac{39}{4} \cdot \frac{1}{5}} = 1 - e^{- \frac{39}{20}} \)
\(\approx 0,14227\)
b)
\(F_y(x) = 1 - e^{- \lambda x}\)
\(F_y(x) = \left\{\begin{matrix}1 - e^{x^2 - 10x} & x \in [1,5] \\ 1 - e^{-10x} & sonst\end{matrix}\right.\)
\(E(Y) = \frac{1}{\lambda}\) (Erwartungswert der Exp.funktion)
\(E(Y) = \frac{1}{\lambda} = \left\{\begin{matrix}\left( \frac{39}{4} \right)^{-1} = \frac{4}{39}, & x \in [1,5] \\ \left( 10 \right)^{-1} = 10, & sonst \end{matrix}\right.\)
LG
