6 Mitarbeiter arbeiten seit einem Jahr an 6 unterschiedlichen Orten...

Question

hallo ihr lieben

ich brauch etwas hilfe bei folgender knobelauffgabe
6 Mitarbeiter arbeiten seit einem Jahr an 6 unterschiedlichen Orten. Um keine Routine aufkommenzu lassen, sollen die Mitarbeiter nach einem Jahr ihren Arbeitsplaz wechseln. Hierzu wird jedem der 6 Mitarbeiter zufällig einer der 6 Standorte zugeteilt.

nun zu den fragen:

a) In wie vielen Fallen erhalten alle Angestellten ihren alten Arbeitsplatz zuruck?

b) In wie vielen Fallen erhalt kein Angestellter seinen alten Arbeitsplatz zuruck?

c) In wie vielen Fallen erhalt genau ein Angestellter seinen alten Arbeitsplatz zuruck?

ich würde mich sehr über einen ansatz freuen, falls ihr etwas parat habt!! :)

Answer 1

a)
das zugehörige urnenmodell ist ziehen ohne zurücklegen.
anzahl möglicher fälle =  6! = 720


b)
stichwort: fixpunktfreie permutation https://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktfreie_Permutation

!n = n!\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!} \\
n = 6 \\
!6 = 6!\sum_{k=0}^{6}\frac{(-1)^k}{k!} = 265 \\
anzahl möglicher fälle = 265

c)
stichwort: recontres-zahl https://de.wikipedia.org/wiki/Rencontres-Zahl
n = 6, k = 1
D_n,k = 264

anzahl möglicher fälle = 264

Comments

Zu a) Es erhalten alle ihren Arbeitsplatz: Es ist nur eine Kombination denn Alle Punkte werden auf ihren genau auf ihren ehemaligen "Stellen" abgebildet. D.h. (1 2 3 4 5 6) -> (1 2 3 4 5 6)

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okay klingt nachvollziehbar (: danke!