Integrationsintervall - Flächeninhalt

Question

Die Aufgabe:

Die Funktion f mit f(x)=3-0,5e^-x; xER hat das Schaubild K. K und die Koordinatenachsen begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie den Inhalt exakt.

Problem/Ansatz:

Hallo, mein Problem ist, dass ich nicht weiß was ich als Intervall benutzen kann. Um den Flächeninhalt auszurechen muss ich ja die Intervalle in die Aufleitung von f(x) einsetzen und bekomme ihn dadurch als Ergebnis.

Wenn man sich jetzt die Funktion im Koordinatensystem  ansieht, sieht hat man, dass sie im 3. Quadranten monoton fällt. Im 1. Quadranten steigt sie bis ca.(2/3) an und verläuft dann linear weiter.

Nullstelle ca. (-1,8/0)

-> Ich habe mir überlegt, dass ich unendlich einsetzen könnte aber dann würde ich als Flächeninhalt auch unendlich herausbekommen.

Ich bedanke mich jetzt schonmal für eure Hilfe!  :D

Comments

Wenn man sich jetzt hier die Parabel ansieht, sie hat man, dass sie im 3. Quadranten monoton fällt. Im 1. Quadranten steigt sie bis ca.(2/3) an und verläuft dann linear weiter.

Es gibt hier keine Parabel. Und auch nichts, was linear wäre.

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Die von Dir erwähnte Nullstelle ist -ln(6). Dies als Kontrolllösung, da eine exakte Berechnung verlangt wird.

Der Flächeninhalt (Integral) ist ln(216)-\( \frac{5}{2} \) oder, anders geschrieben, 3 ln(6) -\( \frac{5}{2} \)

Answer 1

Als Begrenzungslinien werden der Funktionsgraph und die Koordinatenachsen (Mehrzahl!) genannt.

Das ist exakt die Fläche im 2. Quadranten, mehr nicht.

dass sie im 3. Quadranten monoton fällt.

ist übrigens falsch.

und verläuft dann linear weiter.

ist auch falsch, denn auch ab (2/3) steigt sie immer noch , wenn auch nur gering.

Die Funktion ist ÜBERALL monoton wachsend.

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Wie meinst du das? Ich kann es also nicht ausrechnen? - Ok aber wie schreibe ich das auf?

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Naja, ich wollte die Funktion beschreiben, aber kannst du mir sagen, wie ich das jetzt aufschreiben muss, bitte?

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Berechne \( \int\limits_{-ln(6)}^{0} (3-0,5e^{-x})dx.\)

Die Nullstelle (=linke Integrationsgrenze) hat dir döschwo genannt, und da an der y-Achse Schluss ist, ist die rechte Grenze 0.

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Okay, danke!

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Okay, aber woher weißt du, dass die Obergrenze 0 ist?

Weil ich lesen kann.

Das habe ich dir übrigens vorhin schon geschrieben, dass laut Text die

Koordinatenachsen (Mehrzahl!)

die Begrenzungslinien sind. An der y-Achse (also bei x=0) ist also Schluss.

Answer 2

Funktion

f(x) = 3 - 0.5*e^(-x)
F(x) = 3*x + 0.5*e^(-x)

Skizze

~plot~ 3-0.5*e^(-x) ~plot~

Nullstelle f(x) = 0

3 - 0.5*e^(-x) = 0
3 = 0.5*e^(-x)
6 = e^(-x)
-x = LN(6)
x = -LN(6)

Integral

∫ (-LN(6) bis 0) f(x) dx = F(0) - F(-LN(6)) = 1/2 - (3 - 3·LN(6)) = 3·LN(6) - 2.5 = 2.875

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Super danke ☺️

Answer 3

Hallo MLisa,

sieh dir die Graphik an, dann weißt du, welche Fläche berechnet werden muss.

https://www.desmos.com/calculator/5z3mgaxkee

$$ A\approx2.87527840768 $$

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Achso, jetzt verstehe ich was die anderen meinten. Vielen Dank!