Gegeben ist p(p(p(x)))=27x+52, bestimme p(1)

Question

Hallo ihr Lieben!

Mein Problem steht schon im Titel. Wie kann ich die Abhängigkeit von p von sich selbst auflösen?

..

Iria

Answer 1

Aloha :)

Gegeben ist: \(p(p(p(x)))=27x+52\)

Ich würde \(p(x)\) als eine lineare Funktion ansetzen, denn dann ist:$$p(x)=mx+b$$$$p(\,p(x)\,)=m(mx+b)+b=m^2x+mb+b$$$$p(\,p(p(x))\,)=m(m^2x+mb+b)+b=m^3x+m^2b+mb+b$$Ein Vergleich mit der ursprünglichen Gleichung liefert:$$m^3=27\quad;\quad m^2b+mb+b=52$$$$m=3\quad;\quad13b=52\;\text{bzw.}\;b=4$$Damit haben wir gefunden:$$p(x)=3x+4$$Daher ist \(p(-1)=1\).

Answer 2

Ist p(x) per Definition linear?

Dann ist p(x)=ax+b

p(p(x))=a*(ax+b)+b=a²x+ab+b

p(p(p(x)))=a(a²x+ab+b)+b=a³x+a²b+ab+b

Der Koeffizientenvergleich liefert schon mal a³=27. Den Rest solltest du hinbekommen.