Die Eigenwerte \(\lambda\) einer Matrix \(A\) sind ja definiert über:$$A\vec x=\lambda\vec x$$Das kann man umschreiben zu:
$$A\vec x-\lambda\vec x=\vec 0\quad\text{bzw.}\quad(A-\lambda\cdot E)\cdot\vec x=\vec 0$$Da die Eigenvektoren \(\vec x\) ungleich \(\vec 0\) sein müssen, kann die Gleichung nur erfüllt sein, wenn die Determinante von \(A-\lambda\cdot E\) gleich 0 wird. Daher habe ich zur Bestimmung der Eigenwerte oben in meiner Antwort den Wert \(\lambda\) auf der Hauptdiagonalen abgezogen.
Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. In deinem Fall also:$$-\lambda^3+4\lambda^2-21\lambda+54\stackrel{!}{=}0$$Du kannst eine Nullstelle, nämlich \(\lambda=3\) erraten und dann das Polynom durch \((\lambda-3)\) dividieren. Das liefert dann:
$$-(\lambda-3)(\lambda^2-\lambda+18)=0$$Die Parabel in der Klammer hat keine reelle Lösung mehr, sondern nur 2 komplexe Lösungen. Der einzige reelle Eigenwert ist daher \(\lambda=3\). Wenn du auch die komplexen Eigenwerte mit angeben sollst, kannst du die pq-Formel nutzen und findest noch die beiden komplexen Nullstellen:$$\lambda=\frac{1}{2}\pm\frac{i}{2}\sqrt{71}$$Damit hättest du dann alle 3 Eigenwerte gefunden.
