Es sei p(t) das charakteristische Polynom ...

Question

Aufgabe:

   Es sei p(t) das charakteristische Polynom der invertierbaren n×n-Matrix A mit Koeffizienten in einem nullteilerfreien Ring R.

Zeigen Sie, dass das charakteristische Polynom von A⁻¹ gleich det(A⁻¹)(−t)ⁿp(t⁻¹) ist, wobei die Formel im Quotientenkörper des Polynomrings R[t] zu berechnen ist.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Im besagten Quotientenkörper gilt t·E_n - A^-1 = (-t)·(t^-1·E_n - A)·A^-1.
Unter Anwendung der bekannten Rechenregeln für Determinanten folgt
det(t·E_n - A^-1) = (-t)ⁿ·det(t^-1·E_n - A)·det(A^-1) = (-t)ⁿ·det(A^-1)·p(t^-1).