Es sei V ein reeller Vektorraum und W = V ⊕ V .

Question

Aufgabe:

   Es sei V ein reeller Vektorraum und W = V ⊕ V . Wir definieren eine Multiplikation von Vektoren (u,v) ∈ W mit komplexen Zahlen x+iy durch (x + iy)·(u,v) = (xu−yv,xv + yu).

Zeigen Sie, dass W damit zu einem komplexen Vektorraum wird und die durch v → (v,0)  definierte  Abbildung j : V → W reell linear ist.

Zeigen Sie außerdem, dass für jeden komplexen Vektorraum Z und jede reell lineare Abbildung f : V → Z genau eine komplex lineare Abbildung g : W → Z existiert, so dass f = g ◦ j  ist.

 Hinweis: Jedes Element von W ist von der Form (u,v) = j(u) + i·j(v).

Problem/Ansatz:

Answer 1

Zeigen Sie, dass W damit zu einem komplexen Vektorraum wird:

Die Vektorraumaxiome, die nur die Addition betreffen sind offenbar erfüllt.

Bleibt zu zeigen:   Für alle w ∈ W gilt      1*w = w .

Sei also w= (w1,w2)

Dem ist so, weil 1 = 1+0*i ist, also (1+0*i)*(w1,w2) = (nach Def. von * )

=   ( 1*w1-0*w2 ,  1*w2 + 0*w1 ) = (w1,w2).

Entsprechend die Distributivgesetze:   z.B.  x*(u+w) = x*u +x*w

etwa mit x = a+bi   und  u=(u1,u2) und  w=(w1,w2) einfach nachrechnen.

und die durch v → (v,0)  definierte  Abbildung j : V → W reell linear ist.

Seien  also x∈ℝ   und  u,v∈V.  Dann ist zu zeigen

j ( u+v) = j(u) + j(v)   und   j(x*u) = x*j(u) .

j ( u+v) = ( u+v,0) = (u,0) + (v,0) = j(u) + j(v) .  OK

  j(x*u) = (x*u , 0 ) = ( x*u - 0*0 , x*0 + 0*u) = ( x+0*i)*(u,0) = x+j(u) 

Comments

Hi, vielen Dank für dein Antwort! Hast du bitte vielleicht eine Idee auch dafür?

Zeigen Sie außerdem, dass für jeden komplexen Vektorraum Z und jede reell lineare Abbildung f : V → Z genau eine komplex lineare Abbildung g : W → Z existiert, so dass f = g ◦ j  ist.