In welchem Verhältnis stehen die Volumina der beiden Körper zueinander?

Question

Aufgabe:

Einer Kugel vom Radius R ist ein Drehzylinder vom größten Volumen einzuschreiben. In welchem Verhältnis stehen die Volumina der beiden Körper zueinander?

Problem/Ansatz:

Habe so begonnen: R^2 =r^2 +(h/2)^2 und die Nebenbedingung mit : R^2-(h/2)^2 gesetzt... Laut Lösungsheft kommt ein Verhältnis von Wurzel(3) : 1 heraus...

Könntet ihr mit bitte helfen?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Ich würde den Zylinder in eine Kugel mit Radius 1 einschreiben, dann gilt π r² h max s.t. r²+(\( \frac{h}{2} \) )² = 1

Das gibt für den Zylinder V_max ≈ 2,4184 mit h ≈ 1,1547, r ≈ 0,8165 und für die Kugel V = 4/3 π

Comments

Danke sehr! Ok

Answer 2

$$ r^2= R^2-\left(\frac{h}{2}\right)^2$$

Zylinder:

$$ V_Z=\pi\cdot r^2h =\pi\cdot \left(R^2-\left(\frac{h}{2}\right)^2\right)\cdot h=\pi\cdot R^2\cdot h-\frac{\pi}{4}\cdot h^3$$

$$ V'_Z(h)=\pi R^2-\frac{3\pi}{4}\cdot h^2 $$

$$ V'_Z(h)=0 \Rightarrow h^2=\frac{4R^2}{3} $$

$$ r^2= R^2-\frac{h^2}{4}= R^2-\frac{R^2}{3}=\frac{2}{3}R^2$$

$$ V_Z=\pi\cdot r^2h =\pi \cdot \frac{2}{3}R^2\cdot\frac{2R}{\sqrt 3}=\frac{1}{\sqrt 3}\cdot\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{1}{\sqrt 3}\cdot V_\text{Kugel}$$

Comments

Vielen Dank!!!

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Wie geht es aber danach weiter

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Wie geht es aber danach weiter

V_Kugel : V_Zylinder = √3 : 1

Fertig!