Sei eine Folge ( xn ) n∈ℕ definiert durch x0 ∈ ( 0,3 ) und xn+1 = \( \frac{xn + 9}{6} \). (Das n im Zähler soll eigentlich xn sein. Konnte sonst den Bruch nicht eingeben).
Aufgabe: Zeige, dass xn monoton wachsend ist.
Problem/Ansatz:
Die gesamte Aufgabe lautet eigentlich, dass man zeigen soll, dass die rekursive Folge konvergiert. Hierfür wollte ich zeigen, dass sie monoton steigend ist und nach oben durch 3 beschränkt ist. Daraus folgt ja Konvergenz.
Dass die Folge durch 3 beschränkt ist und auch der Grenzwert 3 ist konnte ich schon zeigen. Allerdings weiß ich nicht, wie ich die Monotonie zeigen kann.
Mir ist klar, dass man zeigen muss, dass an ≤ an+1 gilt ∀ n∈ℕ. Ich hab auch schon probiert, dies durch Abschätzen zu zeigen. Induktion habe ich auch schon probiert. Allerdings macht mir x0 ∈ ( 0,3 ) hierbei Probleme. Hat jemand einen Tipp für mich?
