Darstellungsmatrix von \phi_\sigma: K^{n} \to K^{n}

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper. Für \( \sigma \in S_{n} \) sei \( \phi_\sigma: K^{n} \to K^{n}, \begin{pmatrix} x_1\\:\\x_n \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x_{\sigma^{-1}(1)}\\:\\x_{\sigma^{-1}(n)} \end{pmatrix}\)

Bestimmen Sie für beliebiges \( \sigma \in S_{n} \) die Darstellungsmatrix \(D_{BB}(\phi_\sigma) \), wobei B die Standardbasis des \( K^{n} \) ist.

Ich glaube ich könnte die Aufgabe lösen, aber ich verstehe irgendwie erst gar nicht, was genau \( \phi_\sigma \) mit einem \( v \in K^{n} \) macht. Was ist denn \( x_{\sigma^{-1}(1)} \) ? Müsste ich dafür nicht ein explizites \( \sigma \) gegeben haben?

Comments

Immer eine gute Idee: Mach es konkreter. Wähle ein einfaches Beispiel für n und σ , aber nicht zu einfach. Etwa n = 3 und σ:  1↦2, 2↦3 und 3↦1. Führe die "Rechnungen" für das Beispiel durch und versuche zu verallgemeinern.

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Mit deinen Werten komme ich auf \( D_{BB} ( \phi_\sigma) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1&0&0\\0&1&0 \end{pmatrix}\)

Aber ich verstehe nicht wie ich die Darstellungsmatrix angeben soll, wenn nichts konkretes gegeben ist.. da könnten die einsen doch an jeder Stelle stehen.

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In der 1. bzw. 2. bzw. 3. Spalte stehen der 2. bzw. 3. bzw. 1. Einheitsvektor. Verallgemeinerung: In der k-ten Spalte steht der σ(k)-te Einheitsvektor. Das kann man formal hinschreiben, und man muss es dann noch allgemein beweisen.