Aufgabe:
Text erkannt:
Es sei \( V=\mathfrak{s l}(2, \mathbb{C})=\{A \in \operatorname{Mat}(2 ; \mathbb{C}) \mid \) spur \( (A)=0\} \). Zu einer beliebigen matrix \( X=\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & -a\end{array}\right) \in V \) assoziieren wir die lineare Abbildung \( \phi_{X}: V \rightarrow V, A \mapsto \phi_{X}(A):=[X, A] \) (aus der Zusatzaufgabe.(c) folgt \( [X, A] \in V \) für alle \( X, A \in V) \).
(a) Bestimmen Sie eine Basis \( B \) von \( V \) und stellen Sie die Darstellungsmatrix \( M:=\mathcal{M}_{B}\left(\phi_{X}\right) \) auf.
Problem/Ansatz:
Wäre eine mögliche Basis ((1 0 (0 1 (0 0
0 -1) 0 0) 1 0)) ?
Aber irgendwie kommt mir das komisch vor. und wie ich jetzt weiter machen soll, ist mir auch nicht ganz klar.
Ich hab jetzt mit meiner Basis dort oben für jeden dieser Basis Elemente die gegebene Abbildung benutzt. AX- XA
Dann habe ich aus diesen die darstellende Matrix erstellt
( (4b^2+4c^2) -4ab -4ac
-4ab (2c^2+4a^2) -2bc
-4ac -2bc (2b^2+4a^2)
Kann das richtig sein?
