Existieren solche Basen?

Question

Wir betrachten einen 4-dimensionalen Q-Vektorraum V und die Matrix \( A=\left(\begin{array}{cccc}{1} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {1} & {0} & {1} \\ {1} & {0} & {1} & {0} \\ {1} & {1} & {0} & {1} \\ \end{array}\right) \)

Entscheiden Sie, ob es Basen \( \mathcal{B}_{1} \) und \( \mathcal{B}_{2} \) von \( V \) und eine lineare Abbildung \( \varphi: V \rightarrow V \) gibt, so dass
\( M\left(B_{1}, \varphi, B_{1}\right)=A \) und \( M\left(B_{2}, \varphi, B_{2}\right)=\lambda E \) für ein \( \lambda \in \mathbb{Q} \).

Answer 1

Die Matrix A ist die Darstellungsmatrix bezüglich der Basis mit den Einheitsvektoren. Wenn bezüglich irgendeiner Basis die Darstellungsmatrix λE wäre, dann würde durch die lineare Abbildung jeder Vektor v auf λv abgebildet. Dann wäre aber sogar bezüglich jeder Basis λE die Darstellungsmatrix. Also müsste schon A = λE sein, was nicht der Fall ist.

Comments

Jau, leuchtet ein, vielen Dank!

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Könnt ihr beiden mir auch bitte noch hierbei helfen:

Prüfen Sie, ob es Basen \( \mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2} \) von \( V \) und eine Linearform \( \Phi: V \times V \longrightarrow \mathbb Q\) gibt, so dass

\( M\left(C_{1}, \Phi, C_{1}\right)=A \) und \( M\left(\mathcal{C}_{2}, \Phi, \mathcal{C}_{2}\right) \) eine Diagonalmatrix ist.

Kann ich hier vielleicht mit der Transformationsformel argumentieren?

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Du solltest das als neue Frage formulieren. Ein so einfaches Argument wie bei der Abbildungsmatrix sehe ich hier nicht, ich kenne mich aber auch mit Bilinearformen nicht so gut aus. Aber vielleicht jemand anders.

Answer 2

Das zweite geht sicher nicht; denn dann müsstest du ja eine Basis

aus Eigenvektoren haben, die alle zum gleichen Eigenwert λ gehören,

es gibt aber 4 verschiedenen Eigenwerte.

Wegen des "und" brauchst du ja das erste dann wohl nicht mehr zu untersuchen ?

Comments

Ist es auch eigentlich, irgendwie wurde das Bild falsch abgelesen, sorry. Ich korrigiere

Edit: Jetzt steht oben die richtige Matrix

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Stimmt, cooler Ansatz! Das zweite geht also nur dann, wenn es einen und nur einen Eigenvektor zum Eigenwert  λ mit einer geometrischen Vielfachheit von 4 gibt, richtig?

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Ja, so denke ich jedenfalls. Diagonalmatrix müsste

klappen, da es 4 verschiedene Eigenwerte gibt.

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Alles klar, vielen Dank, mathef :)