Funktion mit zwei Tangentenpunkte

Question

Aufgabe:

An den Graphen der Funktion f(x)=3x^2-5x+10 sind Tangenten durch die Pkt. P₁=(0,y₁) und P₂=(1,y₂) gezeichnet. 

Schnittpkt. S der Tangenten gesucht ?

Problem/Ansatz:
Wie gehe ich am besten vor ?

Answer 1

\(f(x)=3x^2-5x+10\)

Ableiten

\(f'(x)=6x-5\)

\(f(0)=10 , f'(0)=-5 → t_1(x)=-5x+10\)

\(f(1)=8 , f'(1)=1 → t_2(x)=x+7\)

 Tangentengleichungen, gleichsetzen

\(-5x+10=x+7 \Rightarrow x=0.5; y=7.5 \Rightarrow S(0.5|7.5)\)

https://www.desmos.com/calculator/iuxudaujvf

Comments

f(0)=10, f'(0)=8  ⇒   P'₁ =(0,10)  P'₂ =(0,8)

f(1)=8 , f'(1)=1   ⇒   P'' ₁ =(1,8)   P'' ₂ =(1,1)

Jetzt mit der Tangentgleichung : für     y ₁ = -2x+10

                                                            y₂ = 6x-5

gleichgesetzt y₁ =y ₂

_{x=\( \frac{15}{8} \)}

_{In f(x) eingesetzt ⇒ 11,17}

_{(\( \frac{15}{8} \) ,11,17)}

_{Ist das richtig ?}

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Leider falsch. f'(0)=-5 und (0|8) ist kein Kurvenpunkt.

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Ich habe mich da vertippt f'(0) =-5

EIn Frage zu t_2(x) ist das nicht t_2(x)=x+8 ?

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(1|8) ist der Kurvenpunkt der Parabel, der auch auf t_2 liegt. Da die Steigung von t_2 gleich 1 ist, musst du so rechnen:

y=mx+b

8=1·1+b

b=8-1=7

Also y=x+7

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Ah, okay jetzt habe ich es verstanden. Vielen Dank :-)

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Dann habe ich heute ja schon eine gute Tat vollbracht.  :-)

Answer 2

Du ermittelst die Tangentengleichungen (y=mx+t)

Die Steigung erhaltest du mit der Ableitung an dem jeweiligen Punkt.