Taylorreihen Abkürzung Konvergenz f gegen f sin^2(x)

Question

Hallo Community,

ich habe mit der folgenden Aufgabe in Teilaufgabe c) Probleme und Schwierigkeiten:

Aufgabe:

Berechnen Sie die Taylorreihe (mit Entwicklungspunkt \( x_{0}=0 \) ) der Funktion
$$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto f(x):=\sin ^{2}(x) $$
indem Sie
(a) alle Ableitungen \( f^{(n)}(0) \) berechnen und in die Definition der Taylorreihe einsetzen;
(b) das Cauchy-Produkt von Reihen verwenden.
Zusatzfrage und Hinweise: Warum ist a priori klar, dass die Taylorreihe von \( f \) gegen konvergiert? - Durch Koeffizientenvergleich sollten Sie auf die Identität \( \sum \limits_{k=0}^{n-1}\left(\begin{array}{c}{2 n} \\ {2 k+1}\end{array}\right)= \) \( 2^{2 n-1} \) stoßen. \( - \) Es gibt noch eine Abkürzung; wenn Sie diese finden, können Sie zwei Zusatzpunkte erwerben.

Problem/Ansatz:

A und b) konnte ich super lösen also denke ich zumindest ^^ :

a)

 b)

 Probleme habe ich mit c) also die Zusatzfrage. Mir fällt kein Ansatz ein den ich verwenden könnte um eine Abkürzung zu finden.

Lieben Gruß

Answer 1

Hallo

mit sin^2(x)=1/2*(1-cos(2x)) ist man am schnellsten, wenn man die Reihe für cos verwenden darf.

(deine Zettel hab ich nicht überprüft)

Gruß lul

Comments

Danke so habe ich das auch gemacht war dann sehr schnell machbar für a und b. Hättest du vlt einen Ansatz für mich für die Zusatzfrage?

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Hallo

 ich denke die Reihe für cos(2x) zu benutzen, die du für die Ableitungen benutzt hast ist die gesuchte Abkürzung, also hast du sie eigentlich schon.

wie du sie allerdings für das Cauchyprodukt benutz verstehe ich nicht.

Gruß lul

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Achso danke dir für die Hilfe und dass du es dir angeschaut hast ^^ Das mit dem Cauchy Produkt habe ich versucht mit der allg Formel zu machen. Aber das ist noch in Bearbeitung weil ich heute irgendwo ein Fehler sah. Das müsste ich aber eigtl. hinkriegen, falls nicht melde mich dann ^^ Schönen Abend noch :)