Gegeben sei die Funktion
\( f(x)=x e^{2 x} \)
(a) Leiten Sie eine Formel für die \( n \)-te Ableitung von \( f \) für beliebiges \( n \in \mathbb{N} \) her, und beweisen Sie diese mit vollständiger Induktion.
(b) Geben Sie die Taylorreihen \( T(x) \) zu \( f \) um die Entwicklungspunkte \( x_{0}=0 \) bzw. \( x_{0}=1 \) an. Für welche \( x \in \mathbb{R} \) konvergieren die Taylorreihen?
(c) Nach Definition \( 7.42 \) und Satz \( 7.44 \) aus der Vorlesung existiert zu einer \( (n+1) \)-mal stetig differenzierbaren Funktion \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) und \( x_{0}, x \in[a, b] \) ein \( c \in\left(x_{0}, x\right) \) (falls \( x_{0}<x \) bzw. \( c \in\left(x, x_{0}\right) \), falls \( x_{0}>x \) ) mit
\( f(x)=\underbrace{\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}\left(x_{0}\right)}{k !}\left(x-x_{0}\right)^{k}}_{=: T_{n}\left(x_{0}, x\right)}+\underbrace{\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1) !}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}}_{=: R_{n}\left(x_{0}, x\right)} \)
Geben Sie das Taylorpolynom \( T_{3}\left(x_{0}, x\right) \) dritten Grades zu \( f \) um den Entwicklungspunkt \( x_{0}=0 \) bzw. um \( x_{0}=1 \) an. Schätzen Sie (rechnerisch) jeweils das Restglied \( R_{3}\left(x_{0}, x\right) \) für \( x \in[-1,2] \) betragsmäßig nach oben ab. Schätzen Sie dazu \( \left|f^{(4)}(c)\right| \) und \( \left|\left(x-x_{0}\right)^{4}\right| \) für \( x \in[-1,2] \) nach oben ab.
(d) Berechnen Sie den maximalen Fehler \( f(x)-T_{3}\left(x_{0}, x\right) \) für \( x \in[-1,2] \) numerisch, indem Sie die Funktion \( \max \left(\left|f(x)-T_{3}\left(x_{0}, x\right)\right|\right) \) für \( x_{0}=0 \) bzw. \( x_{0}=1 \) jeweils auf einem sehr feinen Gitter auswerten. Vergleichen Sie mit den Ergebnissen aus Aufgabenteil (c).
